[L02] I multipli hanno tutte le sequenze

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L02] I multipli hanno tutte le sequenze

Messaggioda Gerald Lambeau » 08/05/2017, 19:26

Sia $x$ una qualsiasi stringa di cifre (da $0$ a $9$) che non inizia con $0$ e $n \ge 2$ un intero. Dimostrare che esiste un multiplo di $n$ la cui espressione in base $10$ inizia con $x$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L02] I multipli hanno tutte le sequenze

Messaggioda Roob » 08/05/2017, 21:58

Testo nascosto:
Sia [tex]10^k[/tex] la più piccola potenza di [tex]10[/tex] maggiore o uguale a [tex]n[/tex], e consideriamo tutti i numeri da [tex]10^kx[/tex] a [tex]10^kx+10^k-1[/tex] (cioè da [tex]x[/tex] seguito da [tex]k[/tex] zeri a [tex]x[/tex] seguito da [tex]k \ 9[/tex])
Abbiamo [tex]10^k[/tex] classi di resto consecutive modulo [tex]n[/tex], e poiché [tex]n\leq 10^k[/tex] una di esse è congrua a 0, e quindi troviamo un multiplo di [tex]n[/tex]


P. S. Molto molto inutile: eravamo seduti allo stesso tavolo durante l'individuale
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Re: [L02] I multipli hanno tutte le sequenze

Messaggioda Ale99 » 09/05/2017, 6:33

Oppure

Testo nascosto:
Prendiamo [tex]n+1[/tex] numeri del tipo [tex]xx\ldots x[/tex] maggiori di [tex]n[/tex]
Ce ne saranno dunque due congrui modulo $n$ e quindi la loro differenza sarà un numero del tipo $x\ldots x0\ldots 0 $ divisibile per $n$


Lo hai riciclato dal problema del quale ho riciclato la soluzione ?
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Re: [L02] I multipli hanno tutte le sequenze

Messaggioda Gerald Lambeau » 09/05/2017, 18:49

Buone entrambe.
@Roob: non mi ricordo chi c'era dall'altro lato del tavolo quindi non so chi sei, sorry XD
@Ale99 se il problema di cui parli è quello in cui $111 \dots 111$ è multiplo di molte cose la risposta è no, ho generalizzato un problema che hanno postato sulla pagina Facebook delle IMO.
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