I codici di River (Coppa Gauss 2016)

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I codici di River (Coppa Gauss 2016)

Messaggioda Benny140 » 02/03/2017, 22:44

Indagando per scoprire il codice di accesso alla stanza di comando di Miranda, River ha dapprima scoperto che tale codice è collegato a due numeri interi positivi [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] e ad elenchi di numeri positivi ottenuti secondo le regole seguenti:

[tex]A_{0} = a[/tex] [tex]A_{1} = b[/tex] [tex]A_{n+2} = A_{n} - A_{n+1}[/tex]


cioè, se [tex]A_{k}[/tex] non è positivo, l'elenco termina e [tex]A_{k}[/tex] non viene scritto. River ha anche scoperto che [tex]a[/tex] è 2016 e [tex]b[/tex] rende massimo il numero di termini dell'elenco. Quanto vale [tex]b[/tex]?

Ho trovato questo problema nella coppa gauss dell'anno scorso, ma non ho capito l'ultima parte della soluzione: me la potreste spiegare?

Grazie
Benny140
 
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Re: I codici di River (Coppa Gauss 2016)

Messaggioda Salvador » 03/03/2017, 15:53

$1246\approx\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}*2016$ ?
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Re: I codici di River (Coppa Gauss 2016)

Messaggioda Salvador » 03/03/2017, 18:14

Non so quale sia la soluzione che hai visto.
Io prima induttivamente trovo che i numeri della successione si alternano nelle forme $ka-hb$ e $ub-va$, dove $k,h,u,v$ sono interi non negativi, poi trovo di nuovo induttivamente che questi sono i numeri di Fibonacci e vado a scrivere $b>F_{n-1}/F_{n}$ e $b<F_{n}/F_{n+1}$ per ogni n. Arrivato a 34, trovo $b>21/34*2016=1245,176...$ e $b<34/55*2016=1246,254...$ e $55/89*2016=1245,842...$, da cui deduco $b=1246$.
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Re: I codici di River (Coppa Gauss 2016)

Messaggioda afullo » 04/03/2017, 21:26

È più o meno la dimostrazione che l'algoritmo di Euclide per la determinazione di [tex]MCD(a,b)[/tex], se [tex]a > b[/tex], termina in al più [tex]\dfrac{\ln a}{\ln \phi}[/tex] passi. ;)
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