[L04] I came across this problem

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[L04] I came across this problem

Messaggioda Gerald Lambeau » 01/06/2016, 16:39

Abbiamo $n \ge 2$ lampadine $L_1, \dots, L_n$ in fila, ognuna di esse accesa o spenta. Ogni secondo modifichiamo simultaneamente lo stato di ogni lampadina nel modo seguente: se la lampadina $L_i$ e quelle ad essa vicine (solo una vicina per $i=1$ o $i=n$, due vicine per gli altri $i$) sono nello stesso stato, allora $L_i$ viene spenta; altrimenti, $L_i$ viene accesa (se una lampadina è già nello stato in cui la dobbiamo portare ovviamente non facciamo nulla).
Inizialmente tutte le lampadine sono spente eccetto quella più a sinistra che è accesa.
(a) Provare che esistono infiniti interi $n$ per i quali tutte le lampadine alla fine saranno spente.
(b) Provare che esistono infiniti interi $n$ per i quali le lampadine non saranno mai tutte spente.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: [L04] I came across this problem

Messaggioda Rho33 » 02/06/2016, 12:11

Allora, se mi confermi che:

Testo nascosto:
a) Le potenze di due vanno bene

b) Gli interi positivi dispari vanno bene


Cerco di formalizzare la soluzione, anche se è a mio parere un po' antipatica :?
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: [L04] I came across this problem

Messaggioda Gerald Lambeau » 02/06/2016, 16:04

Dovrebbero andare bene entrambe, anche se per il punto (b) c'è una via più semplice, comunque dovrebbe funzionare anche la tua.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18


Torna a Combinatoria e Probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite