Geombinatoria

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Geombinatoria

Messaggioda polarized » 20/04/2015, 16:03

Un oggetto sferico, sospeso in una stanza cubica, viene tagliato in tanti pezzi usando 48 piani, ciascuno parallelo o perpendicolare al pavimento. Qual'è il massimo numero di pezzi che si possono ottenere?
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
Avatar utente
polarized
 
Messaggi: 343
Iscritto il: 27/01/2015, 13:53

Re: Geombinatoria

Messaggioda cip999 » 21/04/2015, 20:27

Io l'ho risolto così.

Testo nascosto:
Risposta: $8993$

Allora, sia $x$ il numero di piani perpendicolari al pavimento ($0 \le x \le 48$). Dimostriamo per induzione che il massimo numero di regioni in cui tali puani dividono la sfera è $\displaystyle 1 + \frac{n(n + 1)}{2}$.
  • Banalmente vero per $x = 1$.
  • Lo suppongo vero per $x$ e lo dimostro per $x + 1$. So che $x$ piani formano al massimo $\displaystyle 1 + \frac{x(x + 1)}{2}$ regioni; dispongo l'$x + 1$-esimo in modo che non sia parallelo a nessun altro piano e che non concorra con altri due in una stessa retta. In questo modo si vengono a formare altre $x + 1$ regioni, e quindi il numero totale diventa $\displaystyle 1 + \frac{x(x + 1)}{2} + x + 1 = 1 + \frac{(x + 1)(x + 2)}{2}$, come volevamo.
Forti di questo, il problema si riduce a trovare il massimo della funzione $$f(x) = (49 - x) \left (1 + \frac{x(x + 1)}{2} \right )$$ per i possibili valori di $x$. A questo punto, essendo una funzione polinomiale di 3° grado, l'unico modo ragionevole di massimizzare mi sembra quello di derivare e trovare i punti in cui $$f'(x) = - \frac{3}{2}x^2 + 48x + \frac{47}{2}$$ si annulla, che sono $\displaystyle x = \frac{48 \pm \sqrt{2445}}{3}$.
Ora, la soluzione negativa non ci interessa (anche perché è un minimo), mentre, detta $x_2$ quella positiva, si ha $32 < x_2 < 33$. Provando a mano i due interi più vicini constatiamo che $f(32) = 8993$ e $f(33) = 8992$.
Quindi la soluzione è $8993$.
Non so con quali armi si combatterà la Terza Guerra Mondiale, ma la Quarta sì: con bastoni e pietre.
Albert Einstein
cip999
 
Messaggi: 584
Iscritto il: 26/02/2014, 16:47

Re: Geombinatoria

Messaggioda polarized » 21/04/2015, 21:35

Corretto ovviamente.
(Uguale alla mia solo che non sapendo ancora derivare per ho dovuto fare un sfilza di conti a mano :lol: )
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
Avatar utente
polarized
 
Messaggi: 343
Iscritto il: 27/01/2015, 13:53

Re: Geombinatoria

Messaggioda cip999 » 22/04/2015, 11:15

Ecco, quello è il modo non ragionevole :lol: :lol:
Non so con quali armi si combatterà la Terza Guerra Mondiale, ma la Quarta sì: con bastoni e pietre.
Albert Einstein
cip999
 
Messaggi: 584
Iscritto il: 26/02/2014, 16:47


Torna a Combinatoria e Probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti