Frazione irriducibile

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Frazione irriducibile

Messaggioda Livex » 30/04/2013, 21:25

è abbastanza conosciuto(e piuttosto semplice) come problema,però è carino per chi non l'avesse mai visto e poi devo sapere se la dimostrazione che ho elaborato è giusta! Dunque...

Dimostare che per tutti gli [tex]n\ge 1[/tex] interi,la frazione [tex]\displaystyle \frac {15n+2}{20n+3}[/tex] è ridotta ai minimi termini
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Lasker » 01/05/2013, 6:28

Immagino che si debba dimostrare che i due numeri sono coprimi $\forall n$ , quindi
$MCD(15n+2,20n+3)=1$
Proviamo a manipolare i due "Polinomi"
$MCD(15n+2,20n+3)=1 \iff MCD(15n+2,5n+1)=1$ In pratica ho applicato l'algoritmo di euclide
Ora, moltiplicando $(5n+1)$ per $3$, otteniamo $(15n+3)$,che è sempre coprimo con $(15n+2)$!
Ma se $3p$ è coprimo con $q$, per forza anche $(p,q)=1$
$CVD$
La tua dimostrazione è come la mia?
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Livex » 01/05/2013, 9:05

Si la mia dimostrazione è molto simile,si basa sul algoritmo di euclide ripetuto....
suppongo che esista un k=MCD tale che [tex]k|15n+2[/tex] e [tex]k|20n+3[/tex]
allora k divide anche la differenza per una questione di moduli,quindi [tex]k|5n+1[/tex],si ripete l'algoritmo..
[tex]k|15n+2-(5n+1)=10n+1[/tex], [tex]k|10n+1-(5n+1)=5n[/tex]
ma se k divide due interi consecutivivi k=1,

per quanto riguarda la tua dimostrazione,mi pare corretta! :)
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Drago » 01/05/2013, 18:16

Molto simile a questo:
dimostrare che la frazione $\displaystyle\frac{21n+4}{14n+3}$ è irriducibile.
:)
Avatar utente
Drago
 
Messaggi: 1056
Iscritto il: 14/03/2013, 15:51

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Livex » 02/05/2013, 9:48

supponiamo [tex]k=MCD(21n+4 , 14n+3)[/tex]
allora [tex]k[/tex] divide la differenza tra i due,quindi [tex]k | 7n+1[/tex]
ma k divide anche la differenza [tex]14n+3-(7n+1)=7n+2[/tex],ma attenzione,se [tex]k | 7n+1[/tex] e [tex]k | 7n+2[/tex], [tex]k=1[/tex]
visto che ci siamo diciamo anche perche il MCD divide la differenza tra due interi...
chiamiamo a e b questi interi,si ha quindi che
[tex]a \equiv b \pmod{MCD}[/tex]
[tex]a-b \equiv 0 \pmod{MCD}[/tex]
Ma [tex]a,b[/tex] sono divisibili per il loro MCD
[tex]0-0 \equiv 0 \pmod{MCD}[/tex]
come si vede la differenza anche è divisibile,di conseguenza possiamo ripetere il ragionamento all'infinito,questa la dimostrazione dell'algoritmo di euclide esteso..
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Drago » 02/05/2013, 17:55

Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto...
Basta dire che $k=(a,b)\implies a=ka',b=kb'$ e quindi ogni loro combinazione lineare ha un fattore $k$, ovvero è divisibile per il MCD (probabilmente è quello che tu hai scritto in congruenze...)
Cosa carina: era l'IMO1 del 1959 :)
Avatar utente
Drago
 
Messaggi: 1056
Iscritto il: 14/03/2013, 15:51

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Livex » 02/05/2013, 18:08

Drago ha scritto:Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto...
Basta dire che $k=(a,b)\implies a=ka',b=kb'$ e quindi ogni loro combinazione lineare ha un fattore $k$, ovvero è divisibile per il MCD (probabilmente è quello che tu hai scritto in congruenze...)

è normalissimo che tu non abbia capito,di solito riesco a dire in maniera incasinata anche le cose piu semplici,cosa che purtroppo mi è costata molti punti a febbraio,anche se non sarei passato lo stesso sia chiaro...
comunque si, ho detto che se [tex]a,b[/tex] sono congrui a 0 modulo il MCD,allora la loro differenza è congrua a 0

Drago ha scritto:Cosa carina: era l'IMO1 del 1959 :)

Davvero ho risolto un IMO :shock:
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Drago » 02/05/2013, 18:17

wall98 ha scritto:
Drago ha scritto:Cosa carina: era l'IMO1 del 1959 :)

Davvero ho risolto un IMO :shock:

Sì, la prima edizione delle IMO! :D I primi anni erano piuttosto facili, poi sono diventati sempre più difficili... :)
Avatar utente
Drago
 
Messaggi: 1056
Iscritto il: 14/03/2013, 15:51

Re: Frazione irriducibile

Messaggioda Livex » 02/05/2013, 18:24

Drago ha scritto:
wall98 ha scritto:
Drago ha scritto:Cosa carina: era l'IMO1 del 1959 :)

Davvero ho risolto un IMO :shock:

Sì, la prima edizione delle IMO! :D I primi anni erano piuttosto facili, poi sono diventati sempre più difficili... :)

Già,me ne sono accorto qualche giorno fa quando ho provato a risolvere le IMO2008....Un disastro!
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33


Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite