Fattorizzare e divisibilità

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda vmaestrella » 01/06/2016, 20:00

Marco ha scoperto che ci sono diverse coppie di numeri interi positivi che soddisfano questa proprietà: “se sommate gli elementi della coppia e poi a questa som- ma aggiungete il loro prodotto, ottenete 143 come risul- tato”.
Di tutte queste coppie, scrivete quella per cui è mi- nima la somma degli elementi che la compongono e quella per cui questa somma è massima
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda afullo » 02/06/2016, 8:13

Era un Bocconi passato, no? ;-)
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda vmaestrella » 03/06/2016, 12:16

Si è della finale 2015.
Mi puoi indicare la risoluzione perfavore?
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda alexthirty » 03/06/2016, 12:26

vmaestrella ha scritto:Si è della finale 2015.
Mi puoi indicare la risoluzione perfavore?

Ti do un piccolo hint
L'equazione si scrive come [tex]xy+x+y=143[/tex]
C'è un modo di fattorizzare, magari aggiungendo qualcosa ai membri?
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda vmaestrella » 03/06/2016, 14:07

Ciao grazie ho scritto perché non si risolverlo e perché avrei bisogno di una risoluzione... :-(
cmq si aggiungo 1 a entrambi i membri e fattorizzo.
(x+1)*(y+1)=144
Poi qualcuno può indicarmi come si procede? Grazie! :-)
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda mr96 » 03/06/2016, 14:27

Sposto in TdN.

Comunque, una volta scritta in quella forma sai che sia $x+1$ che $y+1$ devono dividere $144$; ora, sai che la somma è minima quando i due elementi sono "il più vicini possibile" (per le medie, oppure se derivi, o anche solo ad intuito), ma $144=12^2$, quindi $x+1=y+1=12$ funziona. Viceversa, la somma massima la ottieni quando hai $x,y$ il più "lontani" possibile, quindi, ricordando che devono essere interi positivi, arrivi a $x+1=2$.
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda vmaestrella » 04/06/2016, 7:21

Grazie ora ho capito. Vorrei solo una dimostrazione formale o una spiegazione chiara per capire perché la somma minima e quando sono "vicini" mentre è "massima" quando sono lontani. :(
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda afullo » 04/06/2016, 7:57

Se il prodotto xy è fissato, diciamo xy=k, x+y si può scrivere come x+k/x. Prova a studiare l'andamento di quest'ultima quantità, fissato k, al variare di x...
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda vmaestrella » 04/06/2016, 8:36

Scusami, ma ci ho ragionato, ma non riesco a capire... :(
Potresti spiegarmelo perbene?
Grazie :)
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Re: Fattorizzare e divisibilità

Messaggioda afullo » 04/06/2016, 9:53

La funzione f(x) = x+k/x, con x e k positivi, decresce fino a x=sqrt(k), e cresce dopo...
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