Esistenza e unicità della radice quadrata

Oltre la matematica elementare: teoria, esercizi, e riflessioni sulle varie branche della matematica che si fanno all'università.

Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggioda Gizeta » 14/10/2014, 8:07

Questa dimostrazione mi piace molto e credo getti una luce fondamentale sul sistema dei numeri reali.

Per ogni [tex]y \in \mathbb{R^+}[/tex] dimostrare che l'equazione [tex]x^2=y[/tex] ha una e una sola soluzione in [tex]\mathbb{R^+}[/tex].

Lemma utile

Testo nascosto:
Per ogni [tex]\gamma>1[/tex] reale esiste un [tex]\sigma>1[/tex] reale t.c [tex]\sigma^2 \le \gamma[/tex]


Serve l'assioma di completezza del sistema dei numeri reali (Dati due qualsiasi insiemi [tex]A=\{a:a \in \mathbb{R}\}[/tex] e [tex]B=\{b:b \in \mathbb{R}\}[/tex] tali che per ogni loro elemento valga [tex]a \le b[/tex] esiste un elemento [tex]\xi \in \mathbb{R}[/tex] t.c. [tex]\forall a \in A, \forall b \in B[/tex] [tex]a \le \xi \le b[/tex], tale elemento è detto "elemento separatore" [ma non sarà che...]).

Questi sono i pezzi, a voi la ricostruzione (ho dato tutti questi elementi di proposito perché mi piacerebbe che provassero anche i più giovani: lo trovo molto istruttivo) :mrgreen:
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggioda Gizeta » 16/11/2014, 10:23

Non ha risposto nessuno :cry:
L'ho postato anche per sistemare errori tipici dei meno esperti come [tex]\sqrt{4}=\pm 2[/tex].

Il lemma si dimostra molto facilmente, infatti è sufficiente prendere [tex]1< \sigma < \gamma[/tex] per essere sicuri che [tex]\sigma^2 \le \gamma[/tex] o [tex]\displaystyle \left ( \frac{\gamma}{\sigma} \right )^2 \le \gamma[/tex], infatti se entrambe fossero false si avrebbe [tex]\displaystyle \sigma^2 \cdot \left ( \frac{\gamma}{\sigma} \right )^2=\gamma^2>\gamma^2[/tex], assurdo.

L'unicità è in egual modo banale, dacché [tex]x_1<x_2[/tex] implica [tex]x_1^2<x_2^2[/tex] in [tex]\mathbb{R^+}[/tex]

L'esistenza è un pochino più complicata, ma non disperiamo.

I casi [tex]y=0[/tex] e [tex]y=1[/tex] sono banali, se [tex]0<y<1[/tex] allora [tex]\displaystyle y=\frac{1}{z}[/tex], [tex]z > 1[/tex], e [tex]\displaystyle k^2=\left ( \frac{1}{x} \right )^2=z[/tex] ha un'unica soluzione, come si vedrà ora.

Consideriamo i due insieme [tex]A=\{a\in \mathbb{R^+}:a^2 \le y\}[/tex] e [tex]B=\{b \in \mathbb{R^+}:b^2 \ge y\}[/tex], essi sono non vuoti in quanto in [tex]A[/tex] è indubbiamente presente [tex]1[/tex] e in [tex]B[/tex] è presente [tex]y[/tex] stesso, inoltre [tex]\forall a \in A, \forall b \in B[/tex] si ha [tex]a^2 \le y \le b^2 \Rightarrow a \le b[/tex], quindi per l'assioma di completezza esiste [tex]\xi \in \mathbb{R^+}[/tex] tale che [tex]\forall a \in A, \forall b \in B[/tex] [tex]a \le \xi \le b[/tex]. Dimostriamo che è proprio [tex]\xi^2=y[/tex].

Supponiamo per assurdo ciò non sia vero, allora si presentano due casi: [tex]\xi^2<y[/tex] e [tex]\xi^2>y[/tex]

[tex]\displaystyle \xi^2<y \longrightarrow \frac{y}{\xi^2}>1[/tex], allora per il lemma esiste [tex]\sigma>1[/tex] tale che [tex]\displaystyle \sigma^2 \le \frac{y}{\xi^2} \longrightarrow (\sigma\xi)^2 \le y[/tex], quindi [tex]\sigma\xi \in A[/tex], ma [tex]\sigma\xi>\xi[/tex] perché [tex]\sigma>1[/tex] dunque [tex]\xi[/tex] non è elemento separatore. Assurdo.

[tex]\displaystyle \xi^2>y \longrightarrow \frac{\xi^2}{y}>1[/tex] allora esiste [tex]\sigma>1[/tex] tale che [tex]\displaystyle \sigma^2 \le\frac{\xi^2}{y} \longrightarrow \left ( \frac{\xi}{\sigma} \right )^2 \ge y[/tex] allora [tex]\displaystyle \frac{\xi}{\sigma} \in B[/tex], ma [tex]\displaystyle \frac{\xi}{\sigma}<\xi[/tex] e ancora una volta [tex]\xi[/tex] non è elemento separatore. Assurdo.

L'unica soluzione in [tex]\mathbb{R^+}[/tex] di [tex]x^2=y[/tex] viene indicata con il simbolo [tex]\sqrt{y}[/tex].
Ultima modifica di Gizeta il 18/11/2014, 6:31, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggioda Ale99 » 16/11/2014, 11:13

Quell'errore ( o orrore , dipende dai gusti ) lo ho trovato anche nell'Hallidey vol.2 quarta edizione , nell'appendice inerente ai simboli matematici ...
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggioda nil » 16/11/2014, 20:09

ti piacciono le lettere greche? :P
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggioda Ale99 » 16/11/2014, 20:25

Si ma me ne sono accorto in un altro modo . Lo avevo in Pdf e aprendo una pagina random lo ho notato ...
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggioda afullo » 17/11/2014, 20:42

Non capisco perché i libri di terza media lo riportino.
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