Esercizio gaS

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Esercizio gaS

Messaggioda nico lol » 11/08/2020, 13:47

Ciao a tutti ragazzi, propongo oggi questo quesito (da premettere che l'ho risolto, ma purtroppo ho dovuto effettuare alcuni tentativi dopo che ho ragionato un po'), c'è qualcuno che ha qualche modo più veloce? Grazie in anticipo, il testo è il seguente:

“Whisky per i miei n uomini!” tuona Bu4 Kampen nel saloon. “E quanti sono?” chiede il barista. “Ti dirò solo che
n è un intero positivo con esattamente 12 divisori positivi 1 = d1 < d2 < ··· < d12 = n, e che d(d4-1) = d8(d1 +d2 +d4)” (d4-1 è come pedice)
Non volendo fare altre domande, per ogni possibile n il barista prepara un vassoio con n bicchieri. Quanti bicchieri
riempie?

Praticamente so che che 9<=d4-1<=12, da cui trovo che 10<=d4<=13, infine ho elencato in tutti i modi possibile la struttura dei numeri con 12 divisori positivi. E ho trovato la soluzione dopo circa 1 ora e mezza a provare roba.
EDIT: Si può escludere già il caso d4=10=5*2 e nemmeno d4=12=3*2^2 (provare per credere), ma resta il fatto che bisogna trovare un modo rapido per d4=11 e d4=13 (che poi quest'ultima è la soluzione)
Qualcuno ha qualche idea più elegante? Grazie in anticipo e buona estate :D
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Re: Esercizio gaS

Messaggioda afullo » 12/08/2020, 13:14

Sono un po' a mezzo servizio visto che sono in ferie (tra l'altro dalla spiaggia vedo il grattacielo di Cesenatico, e ieri sera sono passato davanti alla colonia Agip :mrgreen: ), ma hai provato a sfruttare la proprietà per cui [tex]d_i \cdot d_{13-i} = n[/tex] per ogni [tex]i=1,\ldots,6[/tex] ? ;)
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Re: Esercizio gaS

Messaggioda nico lol » 12/08/2020, 19:00

Wow grazie mille, ma come si dimostra? Non mi era venuto in mente per niente. Grazie davvero, adesso mi è tutto chiaro, è solo che mi manca la dimostrazione, potresti hintarmela?
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Re: Esercizio gaS

Messaggioda afullo » 12/08/2020, 19:10

Penso basti osservare che n/d1, n/d2, ..., n/d6 sono tutti divisori, in ordine decrescente, e maggiori di d6 in quanto d6 < sqrt(n), quindi uguali rispettivamente a d12, d11, ..., d7 (scusa se non scrivo in tex, ma sono da cell). Of course you can fix some formal details (come mi scriveva sempre la mia advisor di dottorato :D)
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Re: Esercizio gaS

Messaggioda nico lol » 12/08/2020, 20:33

Spettacolo l'ultima spiegazione, grazie mille :)
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Re: Esercizio gaS

Messaggioda afullo » 13/08/2020, 20:24

Figurati. Peraltro questo permette di escludere rapidamente anche il caso [tex]d_4=11[/tex]:

Testo nascosto:
se così fosse, dovrebbe essere [tex]d_{10} = d_8(d_1 + d_2 + d_4)[/tex], ma per la proprietà che ho scritto, [tex]d_{10} \cdot d_3 = d_8 \cdot d_5[/tex], da cui [tex]\dfrac{d_{10}}{d_8} = \dfrac{d_5}{d_3}[/tex]. Questo significa anche che [tex]d_5 = d_3(d_1 + d_2 + d_4) = d_3(1 + d_2 + 11) = (12 + d_2) d_3[/tex], con [tex]d_3 \geq 3[/tex], ma ciò è impossibile, visto che [tex]12 + d_2[/tex] sarebbe un divisore di [tex]n[/tex] più grande di [tex]d_4=11[/tex] e più piccolo di [tex]d_5 = (12 + d_2) d_3[/tex].
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Re: Esercizio gaS

Messaggioda nico lol » 13/08/2020, 20:35

Wow, mi stupisci sempre di più, jahaah, ma come faccio ad acquisire una flessibilità mentale così spinta? devo dire che non ho fatto molti esercizi, tu cosa consigli? Riesco a ragionare per bene solo che mi manca da perfezionare per trovare la strada più veloce diciamo, consigli?
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Re: Esercizio gaS

Messaggioda afullo » 13/08/2020, 20:48

Se vuoi lavorare sulla velocità, prova a cimentarti con esercizi dove è richiesta meno forma e più pensiero laterale, come quelli dei Giochi della Bocconi. ;)
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