Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

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Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

Messaggioda Pier » 14/05/2018, 21:39

Ciao a tutti.
Qualcuno di voi, per favore, sa come si risolveva l'esercizio 18 della finale della gara a squadre femminile?
Soprattutto, come si dimostra che i punti E, F, P sono allineati? Grazie
Ciao
Pier
P.s. il testo dell'esercizio diceva:Sia ABCD un quadrilatero e P un punto interno in modo che ADP e BCP siano triangoli equilateri. Si costruiscano esternamente al quadrilatero i triangoli equilateri ABE e DCF.Sapendo che AD=20, DC=21 e l'angolo FDP=90°, calcolare EF
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Re: Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

Messaggioda Lasker » 14/05/2018, 22:52

Quell'allineamento è banale da mostrare in complessi (origine in $P$), anzi ti viene la tesi più forte che i due punti $E,F$ sono simmetrici rispetto a $P$ (questo a prescindere dai dati sull'angolo $\angle FDP$ e i due segmenti che ti da ). Quando hai dimostrato quello il resto del problema è una formalità. Se riesci a concludere con questa idea, posta la tua soluzione, sennò vedo se posso aiutarti
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

Messaggioda Pier » 15/05/2018, 7:57

Grazie mille per il prezioso consiglio. Tuttavia, non mi è ancora chiaro come procedere...se puoi, potresti, per favore, postare la tua soluzione?
Grazie ancora!
Pier
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Re: Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

Messaggioda Lasker » 15/05/2018, 12:20

Ok, allora metti WLOG $P$ nello $0$ e chiami $A=a$ e $B=b$ con $a,b$ parametri in $\mathbb{C}$, ora come puoi notare il disegno è determinato, infatti $C$ e $D$ sono $B$ e $A$ ruotati di $60$ gradi nel verso corretto... in particolare $C=be^{i\frac{\pi}{3}}$ e $D=ae^{-i\frac{\pi}{3}}$. ora per trovare $E$ ti basta pigliare il "vettore" $b-a$, ruotarlo di $60$ gradi e ritraslare in $a$: $E=(b-a)e^{-i\frac{\pi}{3}}+a$, mentre allo stesso modo $F=(be^{i\frac{\pi}{3}}-ae^{-i\frac{\pi}{3}})e^{i\frac{\pi}{3}}+ae^{-i\frac{\pi}{3}}=be^{i\frac{2\pi}{3}}-a+ae^{-i\frac{\pi}{3}}$. Ora se sommi questi due numeri complessi, si semplificano cose e ottieni $b(e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{-i\frac{\pi}{3}})$, ma se ti immagini $e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{-i\frac{\pi}{3}}$ nel piano complesso è evidente che fa $0$ perché i due complessi hanno entrambi modulo $1$ e l'angolo fra essi è $\pi$. Ma allora $e+f=0$ che è equivalente a dire che $E$ e $F$ sono simmetrici rispetto a $0$ (che abbiamo scelto essere $P$). Ora ti basta notare che $FP=29$ per pitagora e quindi $EF=2\cdot 29=58$.
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Re: Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

Messaggioda Pier » 15/05/2018, 13:08

Wow! Bella dimostrazione!!!
Grazie mille!..anche per aver perso del tempo per rispondermi...
Secondo te, si è obbligati a passare attraverso i complessi, oppure si può dimostrare anche usando geometria sintetica/trigonometria?
Comunque grazie ancora!!!! :)
Pier
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Re: Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

Messaggioda Lasker » 15/05/2018, 13:45

No non si dovrebbe essere obbligati ad usarli, ma è sempre la via più naturale da provare quando nel problema ci sono millemila n-agoni regolari
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Re: Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

Messaggioda afullo » 16/05/2018, 22:44

E poi i complessi _sono_ trigonometria, per la formula di Eulero... :P
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