[Febbraio 2017] Esercizio 17

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda mr96 » 21/02/2017, 18:50

Un triangolo equilatero è diviso in 9 triangolini, e su ogni triangolino è inizialmente scritto il numero 0. Marco, per passare il tempo, fa il seguente gioco: ad ogni mossa sceglie due triangolini con un lato in comune e somma o sottrae 1 a entrambi i numeri scritti su questi triangolini (si intende che l'operazione effettuata su due triangolini è la stessa). Dopo qualche tempo si accorge che i numeri scritti sui $9$ triangolini sono, in un qualche ordine, $n,n+1,...,n+8$, dove $n$ è un intero non negativo. Dimostrare che $n$ può essere solo $0$ o $2$.

Soluzione:
Testo nascosto:
Coloro il triangolo in modo che i triangolini girati "in giù" siano neri e quelli girati "in su" siano bianchi. Chiamo $S_b$ la somma dei numeri sui triangolini bianchi e $S_n$ quella su quelli neri. Allora, a ogni passo, $S_n-S_b=0$. Quindi $S_n=S_b$ e, più precisamente, detta $(\sigma_0,...,\sigma_8)$ una permutazione di $(1,...,8)$ deve valere $3n+\sigma_0+\sigma_1+...+\sigma_5=\sigma_6+\sigma_7+\sigma_8$, da cui, facendo il caso limite della permutazione identica, $0 \leq 3n \leq 6$, ovvero $n=0,1,2$. Infine notiamo che $n=1$ non va bene perché il nostro invariante implica che sia invariante anche la parità della somma di tutte le caselle.
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda GiOvy 27 13 » 21/02/2017, 19:12

Io ho dimostrato solo che n dev'essere pari, secondo voi mi danno qualche punto?

La somma dei valori nei triangolini è 9n+36, e questa somma dev'essere pari perché a ogni mossa si aggiunge o toglie 2. Se n fosse dispari, allora anche 9n+36 sarebbe dispari, il che è assurdo. n è pari.
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda mr96 » 21/02/2017, 19:19

GiOvy 27 13 ha scritto:Io ho dimostrato solo che n dev'essere pari, secondo voi mi danno qualche punto?

La somma dei valori nei triangolini è 9n+36, e questa somma dev'essere pari perché a ogni mossa si aggiunge o toglie 2. Se n fosse dispari, allora anche 9n+36 sarebbe dispari, il che è assurdo. n è pari.

Secondo me 3 o 4 punti si. Ho aggiunto la soluzione :)
mr96
 
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda GiOvy 27 13 » 21/02/2017, 19:22

mr96 ha scritto:
GiOvy 27 13 ha scritto:Io ho dimostrato solo che n dev'essere pari, secondo voi mi danno qualche punto?

La somma dei valori nei triangolini è 9n+36, e questa somma dev'essere pari perché a ogni mossa si aggiunge o toglie 2. Se n fosse dispari, allora anche 9n+36 sarebbe dispari, il che è assurdo. n è pari.

Secondo me 3 o 4 punti si. Ho aggiunto la soluzione :)


Grazie...speriamo perché potrei averne bisogno :lol:
GiOvy 27 13
 
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda Salvador » 21/02/2017, 19:24

Io ho fatto un po' più complesso.
Testo nascosto:
Ho colorato di due colori diversi i triangolini in modo che due con un lato in comune siano di colori diversi e due con un vertice in comune dello stesso colore. Se $a,b,d,e,g,i$ sono i valori dei triangolini neri per esempio, e $c,f,h$ quelli dei triangolini neri, allora $S=a+b+d+e+g+i-c-f-h=0$ è un invariante. La somma è $9n+36$, che dev'essere pari perché $S$ non cambia, e per $n$ dispari non lo è. Inoltre, poiché $S=0$ è necessario che $c+f+h=a+b+d+e+g+i$, dunque $\dfrac{9n+36}{2}$ dev'essere esprimibile come somma di tre elementi (sono 3 i triangolini bianchi). Ma ciò per $n\ge4$ è impossibile perché $c+f+h<3(n+8)\le\dfrac{9n+36}{2}$, dunque $n<4$.
Che ne pensate?
Salvador
 
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda FedeX333X » 21/02/2017, 22:56

Salvador ha scritto:Io ho fatto un po' più complesso.
Testo nascosto:
Ho colorato di due colori diversi i triangolini in modo che due con un lato in comune siano di colori diversi e due con un vertice in comune dello stesso colore. Se $a,b,d,e,g,i$ sono i valori dei triangolini neri per esempio, e $c,f,h$ quelli dei triangolini neri, allora $S=a+b+d+e+g+i-c-f-h=0$ è un invariante. La somma è $9n+36$, che dev'essere pari perché $S$ non cambia, e per $n$ dispari non lo è. Inoltre, poiché $S=0$ è necessario che $c+f+h=a+b+d+e+g+i$, dunque $\dfrac{9n+36}{2}$ dev'essere esprimibile come somma di tre elementi (sono 3 i triangolini bianchi). Ma ciò per $n\ge4$ è impossibile perché $c+f+h<3(n+8)\le\dfrac{9n+36}{2}$, dunque $n<4$.
Che ne pensate?


La prima parte è in realtà esattamente identica alla soluzione sopra, che invece "salta qualche passaggio". Io lo ho risolto quasi allo stesso modo, ma giustificando meno bene l'ultimo pezzo, anche se il concetto che intendevo era quello, comunque mi sembra corretta, non vedo perché non debba valere 15 punti.
FedeX333X
 
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda Salvador » 26/02/2017, 14:57

Grazie!
Salvador
 
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 17

Messaggioda Salvador » 02/03/2017, 11:59

FedeX333X ha scritto:
Salvador ha scritto:Io ho fatto un po' più complesso.
Testo nascosto:
Ho colorato di due colori diversi i triangolini in modo che due con un lato in comune siano di colori diversi e due con un vertice in comune dello stesso colore. Se $a,b,d,e,g,i$ sono i valori dei triangolini neri per esempio, e $c,f,h$ quelli dei triangolini neri, allora $S=a+b+d+e+g+i-c-f-h=0$ è un invariante. La somma è $9n+36$, che dev'essere pari perché $S$ non cambia, e per $n$ dispari non lo è. Inoltre, poiché $S=0$ è necessario che $c+f+h=a+b+d+e+g+i$, dunque $\dfrac{9n+36}{2}$ dev'essere esprimibile come somma di tre elementi (sono 3 i triangolini bianchi). Ma ciò per $n\ge4$ è impossibile perché $c+f+h<3(n+8)\le\dfrac{9n+36}{2}$, dunque $n<4$.
Che ne pensate?


La prima parte è in realtà esattamente identica alla soluzione sopra, che invece "salta qualche passaggio". Io lo ho risolto quasi allo stesso modo, ma giustificando meno bene l'ultimo pezzo, anche se il concetto che intendevo era quello, comunque mi sembra corretta, non vedo perché non debba valere 15 punti.

Mi hanno dato 7 punti... :evil:
In totale ho fatto 64...
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