[Febbraio 2017] Esercizio 15

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda mr96 » 21/02/2017, 18:43

a) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto.
b) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto e che $MCD(x,y,z)=1$.

Soluzione:
Testo nascosto:
Noto che b) $\Rightarrow$ a), quindi faccio solo il secondo punto. Noto che la terna $(2k^2,2k,1)$ funziona per ogni $k$ intero positivo, inoltre il massimo comun divisore è ovviamente 1, quindi mi basta per dimostrarlo.
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda Salvador » 21/02/2017, 18:53

Io ho fatto terne $p,p+1,p(p+1)$ per le quali MCD(p,p+1)=1 e dunque MCD(x,y,z)=1.
Per il punto a) ho fatto $3k,4k,12k$.
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda Giuseppe99 » 21/02/2017, 18:56

Io l'ho risolto nel seguente modo:
dato[tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}[/tex]
portando [tex]z^{2}[/tex] a destra:
[tex]x^{2}+y^{2}=n^{2}-z^{2}[/tex]
a sinistra si completa il quadrato:
[tex](x+y)^{2}-2xy=n^{2}-z^{2}[/tex]
ponendo [tex]x+y=n[/tex]
si ha
[tex]2xy=z^{2}[/tex]
ponendo x (o y) uguale a 1, in modo tale che non ci possano essere divisori comuni si ottiene:
[tex]2y=z^{2}[/tex]
quindi [tex]y=\frac{z^{2}}{2}[/tex]
si ottengono le terne
[tex](1,\frac{z^{2}}{2},z)[/tex]
con z pari
Ultima modifica di Giuseppe99 il 12/05/2017, 9:36, modificato 1 volta in totale.
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda GiOvy 27 13 » 21/02/2017, 19:02

Io invece ho supposto per (a) che x e y fossero di parità diversa, quindi x^2+y^2=d , con d dispari. Ora z^2+d=n^2 , che ha infinite soluzioni con z=(d-1)/2 e n=(d+1)/2. In altre parole, ogni numero dispari è la differenza di due quadrati, quindi per ogni coppia (x,y) troviamo d e quindi almeno un valore di z.

Il punto (b) l'ho risolto analogamente, supponendo x=1.
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda Roob » 21/02/2017, 19:37

Io ho messo [tex](3k,4k,\sqrt {10k+1})[/tex], ovviamente dimostrando che esistono infiniti quadrati del tipo [tex]10k+1[/tex], ma mi sono scordato di fare il calcolo :(
Pensate sia grave?
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda Fastalla » 21/02/2017, 20:04

mr96 ha scritto:a) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto.
b) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto e che $MCD(x,y,z)=1$.

Soluzione:
Testo nascosto:
Noto che b) $\Rightarrow$ a), quindi faccio solo il secondo punto. Noto che la terna $(2k^2,2k,1)$ funziona per ogni $k$ intero positivo, inoltre il massimo comun divisore è ovviamente 1, quindi mi basta per dimostrarlo.





Come sei arrivato a questa tua terna?




Io ho dimostrato il secondo punto riportando l'unione di due terne pitagoriche 3x,4x,5x e 5x,7x,8x, che mi si semplificavano in (3x)^2+(4x)^2+(7x)^2=a^2 dove [a=8x] in questo caso.
In poche parole ho solo dimostrato che esistono infinite terne che rispettano il primo punto e ne ho trovata una che rispetta anche il secondo punto;
Ho solo indicato che esistono infinite terne pitagoriche e che quindi casi del genere si ripetono all'infinito...

Potresti farmi sapere che ne pensi? :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: Grazie!
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda mr96 » 22/02/2017, 12:47

Fastalla ha scritto:
mr96 ha scritto:a) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto.
b) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto e che $MCD(x,y,z)=1$.

Soluzione:
Testo nascosto:
Noto che b) $\Rightarrow$ a), quindi faccio solo il secondo punto. Noto che la terna $(2k^2,2k,1)$ funziona per ogni $k$ intero positivo, inoltre il massimo comun divisore è ovviamente 1, quindi mi basta per dimostrarlo.





Come sei arrivato a questa tua terna?




Io ho dimostrato il secondo punto riportando l'unione di due terne pitagoriche 3x,4x,5x e 5x,7x,8x, che mi si semplificavano in (3x)^2+(4x)^2+(7x)^2=a^2 dove [a=8x] in questo caso.
In poche parole ho solo dimostrato che esistono infinite terne che rispettano il primo punto e ne ho trovata una che rispetta anche il secondo punto;
Ho solo indicato che esistono infinite terne pitagoriche e che quindi casi del genere si ripetono all'infinito...

Potresti farmi sapere che ne pensi? :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: Grazie!

Penso che varrà massimo 6 punti come dimostrazione, ahimé... Per la terna: [tex](2k^2+1)^2=1+4k^2+4k^4[/tex]
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda edo » 22/02/2017, 13:07

Io nella dimostrazione ho presupposto x=0
così potevo formare infinite terne con le terne pitagoriche.
es. (0;k3;k4)=>(k5)^2
con k qualsiasi intero positivo.

per il punto b
so che le terme pitagoriche base sono infinite e sono composte da numeri primi tra loro

secondo voi considerando che sono di prima qualche punticino me lo possono dare?
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda mr96 » 22/02/2017, 14:55

edo ha scritto:Io nella dimostrazione ho presupposto x=0
così potevo formare infinite terne con le terne pitagoriche.
es. (0;k3;k4)=>(k5)^2
con k qualsiasi intero positivo.

per il punto b
so che le terme pitagoriche base sono infinite e sono composte da numeri primi tra loro

secondo voi considerando che sono di prima qualche punticino me lo possono dare?

No. Il testo chiedeva interi positivi...
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Re: [Febbraio 2017] Esercizio 15

Messaggioda Fastalla » 23/02/2017, 18:32

mr96 ha scritto:
Fastalla ha scritto:
mr96 ha scritto:a) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto.
b) Dimostrare che esistono infinite terne di interi positivi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2$ sia un quadrato perfetto e che $MCD(x,y,z)=1$.

Soluzione:
Testo nascosto:
Noto che b) $\Rightarrow$ a), quindi faccio solo il secondo punto. Noto che la terna $(2k^2,2k,1)$ funziona per ogni $k$ intero positivo, inoltre il massimo comun divisore è ovviamente 1, quindi mi basta per dimostrarlo.





Come sei arrivato a questa tua terna?




Io ho dimostrato il secondo punto riportando l'unione di due terne pitagoriche 3x,4x,5x e 5x,7x,8x, che mi si semplificavano in (3x)^2+(4x)^2+(7x)^2=a^2 dove [a=8x] in questo caso.
In poche parole ho solo dimostrato che esistono infinite terne che rispettano il primo punto e ne ho trovata una che rispetta anche il secondo punto;
Ho solo indicato che esistono infinite terne pitagoriche e che quindi casi del genere si ripetono all'infinito...

Potresti farmi sapere che ne pensi? :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: Grazie!

Penso che varrà massimo 6 punti come dimostrazione, ahimé... Per la terna: [tex](2k^2+1)^2=1+4k^2+4k^4[/tex]


Ah, cavolo non avrei immaginato fosse così 'facile'.....
Questo era un bel problema, non troppo difficile, bastava ragionarci un po'.
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