[Febbraio 2017] Esercizio 13

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[Febbraio 2017] Esercizio 13

Messaggioda mr96 » 21/02/2017, 19:32

Il ricco Creso compra 88 vasi identici. Il prezzo di ognuno di essi, espresso in dracme, è un numero intero (lo stesso per tutti gli 88 vasi). Sapendo che Creso paga un totale di $a1211b$ dracme, dove $a,b$ sono cifre da determinare (distinte o meno). Quante dracme costa un singolo vaso?

Soluzione:
Testo nascosto:
La risposta è 1274. Notiamo che il numero $a1211b$ dev'essere divisibile per $88$, quindi dev'essere divisibile sia per $11$ che per $8$. Sappiamo che un numero è divisibile per $2^n$ se e soltanto se lo sono le sue ultime $n$ cifre, in particolare un numero è divisibile per $8$ se e soltanto se lo sono le sue ultime $3$ cifre, quindi $11b$ dev'essere divisibile per $8$. Notiamo che $8 \cdot 14 = 112$ è l'unico numero che soddisfa, quindi $b=2$ e $a12112$ è divisibile per $8$ per ogni scelta di $a$. Il criterio di divisibilità per $11$ ci dice che la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari, presa in valore assoluto, dev'essere un multiplo di $11$, ovvero che $|(2+1+1)-(1+2+a)| = |a-1|$ dev'essere divisibile per $11$. Essendo $0 \leq a \leq 9$ abbiamo che questa condizione è vera solo per $a=1$. La soluzione è quindi $\frac{112112}{88}=1274$.
mr96
 
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