Dubbio sugli ordini moltiplicativi

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Dubbio sugli ordini moltiplicativi

Messaggioda Dudin » 21/04/2017, 16:59

Ciao a tutti sulle dispense ho letto che dato un numero b = p^k (in cui p è un primo) l'ordine moltiplicativo di b è il numero di elementi da 1 ad b che non sono multipli di p (in altre parole il numero di elementi a che hanno un ordine moltiplicativo di a modulo b).
Potete spiegarmi perché??
grazie in anticipo!!
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Re: Dubbio sugli ordini moltiplicativi

Messaggioda CosecantofPi » 21/04/2017, 18:52

Allora, in realta' la questione e' un pochino diveros. L ordine moltiplicativo di un qualsiasi numero N modulo A, e' quel piu' piccolo $n$ tale che $A^n$ sia congruo ad $1$ modulo A. Ti stavi probabilmente confondendo, parlando di un altra proprieta', ovvero quella che dice che l ordine moltiplicativo divide $p-1$, che effettivamente sono i numeri coprimi con $p$, Ma questo e' vero solo e' soltanto per un modulo primo. Talvolta per un modulo generico, l' ordine moltiplicativo divide $\phi (n)$. Questa si chiama funzione phi di Eulero, ed e' una funzione definita per tutti gli $n$ ed indica il numero di coprimi minori di $n$
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Re: Dubbio sugli ordini moltiplicativi

Messaggioda CosecantofPi » 21/04/2017, 18:55

Correggo, diversa*
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Re: Dubbio sugli ordini moltiplicativi

Messaggioda Dudin » 21/04/2017, 19:11

Ma io parlavo dell'ordine moltiplicativo di un numero
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Re: Dubbio sugli ordini moltiplicativi

Messaggioda CosecantofPi » 21/04/2017, 19:31

Dudin ha scritto:Ma io parlavo dell'ordine moltiplicativo di un numero

Non esiste un "ordine moltiplicativo" generale.. Esistono degli ordini moltiplicativi per i vari moduli, e cio' viene direttamente dalla definizione di ordine moltiplicativo:
In teoria dei numeri, dati un intero $a$ ed un intero positivo $n$ il cui massimo comune divisore sia $1$, l'ordine moltiplicativo di $a$ modulo $n$ è il più piccolo intero positivo $k$ tale che

$a^k ≡ 1 (modulo n)$
L'ordine di $a$ modulo $n$ è generalmente indicato con $ord_n(a)$, oppure $O_n(a)$.
Questa viene direttamente da wikipedia, e la trovi su qualsiasi libro di teoria dei numeri, probabilmente e' meno confusa della mia, dove ho voluto aggiungere quelle due proprieta' carine :)
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