Dubbio su esercizio Paolini

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Dubbio su esercizio Paolini

Messaggioda FTMaker » 29/01/2018, 23:02

Salve, ho un dubbio riguardo all'esercizio 17 del libro "La Matematica delle Olimpiadi", di G.Paolini.
La richiesta è:

Sia a una radice di x^2 - x - 1 e sia F(n) l'n-esimo numero di Fibonacci.
Dimostrare che a^n = F(n)*a + F(n-1)

L'autore procede per induzione, osservando che per n = 1 l'affermazione è vera.
Per il passo induttivo procede con a^(n+1) = a^n * a = [F(n)*a + F(n-1)] * a = F(n)*a^2 + F(n-1)*a

Poi scrive: essendo a una radice di x^2 - x - 1, si ha che a^2 = a+1, e di li procede e conclude l'esercizio.

Quello che non mi torna è: quest'ultima affermazione è parte del procedimento di induzione ( a^2 = F(2)a + F(1) = a + 1 ) o è dedotta da altre proprietà del polinomio dato?
Se fosse parte del procedimento di induzione, mi sembrerebbe alquanto strano utilizzare una tesi (che stiamo tentando di dimostrare) per dimostrare la stessa tesi.

Chiarimenti? Grazie mille :D

UPDATE: Ovviamente, appena inviato il post, mi è venuto il flash che banalmente a^2 = a + 1 è il polinomio stesso. :roll: :roll: :roll:
FTMaker
 
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