Dubbio problema 2 cesenatico 2007

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Dubbio problema 2 cesenatico 2007

Messaggioda FTMaker » 17/04/2018, 18:13

Esercizio 2 Cesenatico 2007

Diciamo che due polinomi a coefficienti interi p e q sono simili se hanno lo stesso grado e gli stessi
coefficienti a meno dell’ordine.
(a) Dimostrare che se p e q sono simili, allora p(2007) − q(2007) è un multiplo di 2.
(b) Esistono degli interi k > 2 tali che, comunque siano dati due polinomi simili p e q, p(2007)−q(2007) è un multiplo di k?
Soluzione: (a) Poichè 2007 è un numero dispari, il valore di un polinomio in 2007 è pari o dispari a
seconda che il numero dei suoi coefficienti dispari sia pari o dispari. Ma se p e q sono simili, allora in
particolare contengono lo stesso numero di coefficienti dispari, e quindi p(2007) e q(2007) sono entrambi
pari o entrambi dispari. In ogni caso, la loro differenza è divisibile per 2.
(b) Sì, la cosa è vera anche per k = 2006.
Per ogni intero non negativo h, si ha 2007^h ≡ 1 (mod 2006). Se p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 e
q(x) = bnxn + bn−1xn−1 + · · · + b0 si ha dunque
p(2007) ≡ an + an−1 + · · · + a0 (mod 2006)
q(2007) ≡ bn + bn−1 + · · · + b0 (mod 2006),
da cui p(2007) − q(2007) ≡ (an + an−1 + · · · + a0) − (bn + bn−1 + · · · + b0) = 0 (mod 2006).

Mi chiedevo se 2006 è l'unico k possibile o valgono anche tutti i suoi divisori, diversi da 1, ed hanno scritto solo il 2006 perchè basta un solo esempio per giustificare la risposta affermativa.
(Per leggere meglio il problema vi consiglio di utlizzare i pdf del sito ufficiale perchè non sono riuscito ad importare l'immagine LaTex ma solo il testo, chiedo perdono :lol: )

Grazie per il chiarimento
FTMaker
 
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Re: Dubbio problema 2 cesenatico 2007

Messaggioda matpro98 » 17/04/2018, 19:30

Tu vuoi solo $2007^h \equiv 1 \pmod{k}$, quindi qualsiasi $k$ che verifica va bene
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Re: Dubbio problema 2 cesenatico 2007

Messaggioda FTMaker » 17/04/2018, 20:40

Grazie! Se fossi stato in gara, ti saresti messo a trovare i divisori di 2006 (il più piccolo è 17, quindi abbastanza perditempo calcolarli), oppure avresti lasciato il 2006 dato che è sufficiente? Dalla richiesta non si capisce se richiedono sono una rispostà si/no o richiedono di trovarli..
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Re: Dubbio problema 2 cesenatico 2007

Messaggioda matpro98 » 17/04/2018, 22:32

Basta 2006: la domanda è "esistono altri k ...?" e la risposta è sì perché c'è almeno lui
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