Disuguaglianza Senior Basic

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda DrJekyll00 » 14/05/2017, 15:23

Determinare il minimo di [tex]x+8y+4z[/tex] con [tex]x,y,z[/tex] reali positivi sapendo che [tex]\frac{4}{x}+\frac{2}{y}+z=3[/tex].
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Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda DrJekyll00 » 17/05/2017, 15:19

Qualche hint? Ho provato a ridurlo a disuguaglianze tra medie ma non mi viene...
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Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda Lasker » 17/05/2017, 16:31

Prova a scrivere $x+8y+4z\geq f(z)$ sfruttando il vincolo e le disuguaglianze note, dove $f$ è abbastanza bella da poterla studiare nell'intervallo $[0;3]$ (insomma, stima solo $x+8y$ inizialmente).
Testo nascosto:
$f(z)=\frac{36}{3-z}+4z$ (usando ad esempio il lemma di Titu), che è una funzione omografica più una retta in $z$, in particolare ti puoi accorgere che è crescente in $[0;3]$ e quindi $z$ lo fai tendere a zero... se non ho sbagliato i conti il minimo (non è proprio un minimo, perché non si può raggiungere, ma solo avvicinarcisi a piacere rendendo $z$ piccolo e mantenendo $x$ e $y$ in rapporto $4:1$) dovrebbe verificarsi in $(4,1,0)$, il valore di questo "minimo" (è un $\inf$...) è $12$
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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