Disuguaglianza Senior Basic

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda DrJekyll00 » 14/05/2017, 15:23

Determinare il minimo di [tex]x+8y+4z[/tex] con [tex]x,y,z[/tex] reali positivi sapendo che [tex]\frac{4}{x}+\frac{2}{y}+z=3[/tex].
DrJekyll00
 
Messaggi: 3
Iscritto il: 08/05/2017, 15:09

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda DrJekyll00 » 17/05/2017, 15:19

Qualche hint? Ho provato a ridurlo a disuguaglianze tra medie ma non mi viene...
DrJekyll00
 
Messaggi: 3
Iscritto il: 08/05/2017, 15:09

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda Lasker » 17/05/2017, 16:31

Prova a scrivere $x+8y+4z\geq f(z)$ sfruttando il vincolo e le disuguaglianze note, dove $f$ è abbastanza bella da poterla studiare nell'intervallo $[0;3]$ (insomma, stima solo $x+8y$ inizialmente).
Testo nascosto:
$f(z)=\frac{36}{3-z}+4z$ (usando ad esempio il lemma di Titu), che è una funzione omografica più una retta in $z$, in particolare ti puoi accorgere che è crescente in $[0;3]$ e quindi $z$ lo fai tendere a zero... se non ho sbagliato i conti il minimo (non è proprio un minimo, perché non si può raggiungere, ma solo avvicinarcisi a piacere rendendo $z$ piccolo e mantenendo $x$ e $y$ in rapporto $4:1$) dovrebbe verificarsi in $(4,1,0)$, il valore di questo "minimo" (è un $\inf$...) è $12$
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 758
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda Luke99 » 21/06/2017, 22:14

Come hai applicato Titu per passare da [tex]x+8y[/tex] a [tex]\frac{36}{3-z}[/tex]?
Luke99
 
Messaggi: 161
Iscritto il: 22/03/2015, 20:44

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda 0004POWER » 22/06/2017, 7:23

Modificato per impedirvi di vedere il mio errore madornale
Ultima modifica di 0004POWER il 22/06/2017, 11:55, modificato 2 volte in totale.
0004POWER
 
Messaggi: 50
Iscritto il: 28/04/2017, 19:19

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda Luke99 » 22/06/2017, 10:56

[tex]\frac{4}{x} ×4[/tex] non fa [tex]x[/tex]
Luke99
 
Messaggi: 161
Iscritto il: 22/03/2015, 20:44

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda 0004POWER » 22/06/2017, 11:53

Hai ragione, mi sembrava troppo semplice il problema in effetti
0004POWER
 
Messaggi: 50
Iscritto il: 28/04/2017, 19:19

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda Lasker » 22/06/2017, 12:11

$$x+8y=\frac{4}{\frac{4}{x}}+\frac{16}{\frac{2}{y}}\geq \frac{(2+4)^2}{\frac{4}{x}+\frac{2}{y}}=\frac{36}{3-z}$$
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 758
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Disuguaglianza Senior Basic

Messaggioda Luke99 » 22/06/2017, 13:55

Capito grazie
Luke99
 
Messaggi: 161
Iscritto il: 22/03/2015, 20:44


Torna a Algebra

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti