Distanze in un quadrato

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Distanze in un quadrato

Messaggioda Lasker » 16/02/2014, 14:39

Dato un quadrato $ABCD$ di lato unitario, ed un punto (interno alla figura) $P$, sia definita:
$$f(P)=\overline{AP}+\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{AD}$$
La funzione che associa ad ogni possibile posizione di $P$ la somma delle distanze di $P$ dai quattro vertici.
Trovare tutti i punti $P$ in cui $f(P)$ assume il valore massimo oppure minimo.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 692
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Distanze in un quadrato

Messaggioda Salvador » 12/04/2017, 15:41

Vorrai dire $f(P)=AP+BP+CP+DP$?
Salvador
 
Messaggi: 139
Iscritto il: 26/11/2016, 11:55

Re: Distanze in un quadrato

Messaggioda Salvador » 12/04/2017, 15:48

In tal caso il punto che minimizza è il punto d'incontro delle diagonali: infatti qualunque altro punto forma dei segmenti $AP,BP,CP,DP$. Tracciando le diagonali si formano due triangoli $APC$ e $BPD$: per la disuguaglianza triangolare si ha $AP+CP \ge AC$ e $BP+DP \ge BD$, dunque $AP+BP+CP+DP \ge AC+BD$, con l'uguaglianza se e solo se P è il punto d'incontro delle diagonali, che pertanto è il punto che minimizza.
Salvador
 
Messaggi: 139
Iscritto il: 26/11/2016, 11:55

Re: Distanze in un quadrato

Messaggioda Salvador » 12/04/2017, 16:13

Per massimizzare invece direi che siano i vertici del quadrato
Salvador
 
Messaggi: 139
Iscritto il: 26/11/2016, 11:55


Torna a Geometria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Veritasium e 0 ospiti