Dispense Olimpioniche - Diofantee

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Dispense Olimpioniche - Diofantee

Messaggioda oliad1 » 27/10/2017, 19:01

Sto studiando le dispense olimpioniche e alla pagina 25,si parla del "metodo delle congruenze" per risolvere le equazioni diofantee,sinceramente non riesco a capirlo ed essendo un metodo credo poco usato non riesco a trovare nulla su internet.
Se qualcuno ha il tempo mi farebbe piacere una spiegazione dell'argomento,linko la pagina per il PDF delle dispense come riferimento.
(spero sia la giusta sezione)
Grazie in anticipo per le risposte

http://www.dmi.units.it/divulgazione/ma ... oniche.pdf
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Re: Dispense Olimpioniche - Diofantee

Messaggioda matpro98 » 27/10/2017, 20:03

Le congruenze con le diofantee funzionano molto bene se vuoi dimostrare l'inesistenza di soluzioni: se infatti vuoi dimostrare che esistono soluzioni, puoi trovare solo che, eventualmente, sono della forma $km+a $, con niente di concreto in mano. Se invece dimostri con le congruenze che soluzioni non esistono, sai che le soluzioni non sono della forma $km,km+1,..., km+(m-1) $ e quindi non ce ne sono proprio
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Re: Dispense Olimpioniche - Diofantee

Messaggioda Lasker » 28/10/2017, 10:14

Prova a risolvere questa semplice diofantea con il metodo delle congruenze! Diciamo che quando provi un po' di esempi si capisce meglio come funziona, è una sorta di generalizzazione della parità di un'espressione.
$$n!+1=2^n$$
Testo nascosto:
per $n>1$ il membro di sinistra è dispari e il membro di destra è pari, oppure volendo dirlo con le congruenze il primo è congruo a $1$ modulo $2$ e il secondo a $0$. Insomma le congruenze ti servono ad estendere argomenti del tipo "a sinistra è dispari, a destra è pari" a numeri qualunque piuttosto che al solo $2$

Se vuoi un esempio del tutto uguale ma con un modulo diverso da $2$, puoi provare $$n!+1=5^{m}$$
Qui la parità non ci aiuta (se provi a vedere i due membri vengono entrambi dispari per la maggior parte degli $n$) ma le congruenze si!
Questo metodo è una delle cose più importanti che puoi imparare dalle dispense olimpioniche, ti consiglio di meditarci con attenzione
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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