[L02/03] Diseguaglianza inversa

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

[L02/03] Diseguaglianza inversa

Messaggioda Gizeta » 07/07/2019, 19:45

Sia [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] con [tex]0<a<1[/tex] e [tex]n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}[/tex], dimostrare la diseguaglianza

[tex]\displaystyle (1-a)^n <\frac{1}{1+an}[/tex]
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Re: [L02/03] Diseguaglianza inversa

Messaggioda afullo » 09/07/2019, 10:02

Lasciando ai più giovani la risoluzione, menziono un'applicazione pratica di queste formule: alcuni incentivi vengono concessi come se fossero dei prestiti ad un tasso di interesse negativo, nel senso che più uno si tiene i soldi (a patto che li utilizzi per lo scopo prefissato), meno deve restituirne alla fine del periodo; sentivo di tali iniziative a proposito di progetti legati al recupero agricolturale di aree abbandonate.

Se [tex]a[/tex] è il tasso di interesse, negativo ma espresso in valore assoluto, per unità di tempo (per esempio annuale), e [tex]n[/tex] è il numero di unità trascorse (per esempio anni), la formula [tex](1-a)^n[/tex] rappresenta, previa moltiplicazione per il capitale iniziale, la capitalizzazione composta, la formula [tex]1-an[/tex] (qui non presente) la capitalizzazione semplice, e la formula [tex]\dfrac{1}{1+an}[/tex] un terzo tipo di capitalizzazione.
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Re: [L02/03] Diseguaglianza inversa

Messaggioda AlexTheBoss » 12/08/2019, 10:12

Posto la mia soluzione

Testo nascosto:
Siano [tex]k=n+1[/tex] e [tex]\displaystyle x=\frac {1} {1-a}-1[/tex], poichè [tex]n[/tex] è intero positivo, [tex]k\geq 2, k\in \mathbb N[/tex]. Tenendo conto di [tex]\displaystyle x=\frac {1} {1-a}-1=\frac {a} {1-a}[/tex] e di [tex]0<a<1[/tex] si conclude che [tex]x>0[/tex]. Vale dunque la disuguaglianza stretta di Bernoulli:[tex](1+x)^k>1+kx[/tex]. Sostituendo [tex]k[/tex] con [tex]n+1[/tex] e [tex]1+x[/tex] con [tex]\displaystyle \frac {1} {1-a}[/tex] nel membro sinistro si ha:[tex]\displaystyle (\frac {1} {1-a})^n(\frac {1} {1-a})>x+1+xn[/tex]. Trasportando la quantità positiva [tex]\displaystyle(\frac {1} {1-a})[/tex] nel membro destro, sostituendo [tex]x[/tex] con [tex]\displaystyle \frac {a} {1-a}[/tex] e svolgendo i conti si ottiene [tex]\displaystyle \frac {1} {(1-a)^n}>1+an[/tex], da cui segue la tesi.
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