Diofantea con poche soluzioni (parte 2)

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Diofantea con poche soluzioni (parte 2)

Messaggioda Gizeta » 09/03/2014, 11:36

Risolvere negli interi

[tex]x^2+y^2+z^2=x^2y^2[/tex]
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Re: Diofantea con poche soluzioni (parte 2)

Messaggioda aetwaf » 09/03/2014, 13:02

$LHS\equiv 0,1,2,3\pmod 4$
$RHS\equiv 0,1\pmod 4$
Quindi abbiamo $2$ casi
Se fosse $0$ dovremmo avere necessariamente
$x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1$
Se fosse $1$ dovremmo avere, per $LHS\equiv 1\pmod 4$ solo $1$ termine $\ne 0\pmod 2$
Per $RHS\equiv 1\pmod 4$ dovremmo averne almeno $2$, assurdo

Quindi deve essere
$x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1$
Sostituiamo e otteniamo
$x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1^2y_1^2$
Ma allora deve essere di nuovo
$x_1=2x_2,y_1=2y_2,z_1=2z_2$
Procedendo in questo modo si giunge alla classica discesa infinita
Dovrebbe essere infatti
$2^k\mid x,y,z$ anche per $2^k>x,y,z$
Quindi l'unica possibilità è $0$

L'unica soluzione è
$x=y=z=0$
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Re: Diofantea con poche soluzioni (parte 2)

Messaggioda Gizeta » 09/03/2014, 13:37

Si, corretta.

In alternativa: possiamo riscrivere come

[tex](x^2-1)(y^2-1)=z^2+1[/tex]

Se [tex]z^2 \equiv 0 \pmod 4 \Rightarrow x^2 \equiv y^2 \equiv 0 \pmod 4[/tex]

Se [tex]z^2 \equiv 1 \pmod 4[/tex] si giunge ad una situazione priva di soluzioni.

Dalla prima ipotesi si procede come fatto da te.
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Re: Diofantea con poche soluzioni (parte 2)

Messaggioda Ale 117 » 26/04/2014, 9:08

Scusate , ma cosa vuol dire LHS e RHS ?
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Re: Diofantea con poche soluzioni (parte 2)

Messaggioda nil » 26/04/2014, 11:15

Ale 117 ha scritto:Scusate , ma cosa vuol dire LHS e RHS ?


Left-hand side (parte sinistra) e right-hand side (parte destra)
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Re: Diofantea con poche soluzioni (parte 2)

Messaggioda Ale 117 » 26/04/2014, 13:01

Grazie l'avevo intuito ma non ne ero sicuro .
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