Dimostrazione funzione periodica e dispari

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Dimostrazione funzione periodica e dispari

Messaggioda Essor2 » 01/09/2017, 11:38

''Sia f una funzione reale di variabile reale tale che f(1+x) = f(1-x) e f(2+x)= -f(2-x) per ogni x reale.
Provare che è una funzione periodica e dispari.''
Essor2
 
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Re: Dimostrazione funzione periodica e dispari

Messaggioda pipotoninoster » 23/02/2018, 12:36

Allora:
[tex]f(1+x)=f(1-x)=f(2+(-1-x))=-f(2+(1+x))=-f(1+(2+x))=-f(1-(2+x))=-f(-(1+x))[/tex]. Ponendo [tex]y=1+x[/tex] quello che abbiamo ottenuto equivale a
[tex]f(y)=-f(-y)[/tex], cioè [tex]f[/tex] è dispari.
Per dimostrare che è periodica:
[tex]f(2+x)=-f(2-x)=f(x-2)[/tex] (nell'ultimo passaggio ho usato il fatto che [tex]f[/tex] è dispari). Dunque, ponendo [tex]y=x-2[/tex] ottengo [tex]f(y)=f(y+4)[/tex], cioè [tex]f[/tex] è periodica.
Un esempio è [tex]f(x)=sin((pi/2)x)[/tex]
pipotoninoster
 
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