Dimostrativo Febbraio 2017

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Dimostrativo Febbraio 2017

Messaggioda FTMaker » 27/12/2017, 16:32

Salve a tutti, in vista della Gara di Febbraio mi stavo allenando sulle gare vecchie, e mi sono imbattuto in un problema (il n.15 di Febbraio 2017) a cui ho trovato una soluzione alternativa, che volevo proporvi per conferma.

Il testo:

(a) Dimostrare che esistono in nite terne (x;y;z) di interi positivi tali che x2 + y2 + z2 sia un
quadrato perfetto.
(b) Dimostrare che esistono in nite terne (x;y;z) di interi positivi tali che x2 + y2 + z2 sia un
quadrato perfetto e con la proprieta che il massimo comun divisore dei tre numeri (x;y;z)
sia 1.

Innanzitutto per intuizione mi viene da dire che dimostrare il punto (a) equivale a dimostrare il fatto che esistono infinite coppie xy tali che x2+y2 è un quadrato perfetto.
Infatti riscrivendo x2+y2+z2 come (x2+y2) + z2, se x2+y2 è un quadrato perfetto l'intera espressione è semplicemente una nuova somma di quadrati.

Infine posso dimostrare che esistono infinite coppie xy tali che x2+y2 è un quadrato perfetto osservando l'esistenza di infiniti triangoli rettangoli di lati interi diversi. (dando origine ad infinite terne pitagoriche).
Considerando la prima terna pitagorica (3,4,5) e la seconda (5,12,13) e le loro derivate dimostro anche il punto (b).

Cosa ne pensate? Vedete qualche errore evidente? Non sono un maestro nel dimostrare quindi la spiegazione è probabilmente molto poco chiara, scusate :roll: :roll:
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Re: Dimostrativo Febbraio 2017

Messaggioda matpro98 » 28/12/2017, 13:35

Non è detto che funzioni come dici tu. Prendi $(x,y,z)=(3,4,5)$, ottieni $50 \neq n^2$
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Re: Dimostrativo Febbraio 2017

Messaggioda mr96 » 28/12/2017, 14:13

matpro98 ha scritto:Non è detto che funzioni come dici tu. Prendi $(x,y,z)=(3,4,5)$, ottieni $50 \neq n^2$

Penso intenda tipo $3^2+4^2+12^2=13^2$. Il fatto è che non ho capito bene la cosa delle derivate, è vero che $(3h,4h,12h)$ funziona sempre, ma direi che non rimangono coprimi...
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Re: Dimostrativo Febbraio 2017

Messaggioda Lasker » 28/12/2017, 15:11

Ti consiglierei di parametrizzare esplicitamente le soluzioni se vuoi dimostrare che sono infinite, altrimenti è spesso difficile capire cosa intendi... insomma un insieme infinito di soluzioni che soddisfano le condizioni lo devi scrivere esplicitamente, deve essere chiaro quali sono i suoi elementi.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: Dimostrativo Febbraio 2017

Messaggioda FTMaker » 29/12/2017, 10:26

mr96 ha scritto:
matpro98 ha scritto:Non è detto che funzioni come dici tu. Prendi $(x,y,z)=(3,4,5)$, ottieni $50 \neq n^2$

Penso intenda tipo $3^2+4^2+12^2=13^2$. Il fatto è che non ho capito bene la cosa delle derivate, è vero che $(3h,4h,12h)$ funziona sempre, ma direi che non rimangono coprimi...


Esatto! Giusto ho fatto una svista sulla questione dei coprimi, dovrei trovare due terne adatte e parametrizzarle quindi...

Grazie mille!
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