Dimostra che A e' un quadrato.

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Dimostra che A e' un quadrato.

Messaggioda CosecantofPi » 15/04/2017, 13:49

Sia $A$ un numero formato da $600$ cifre $6$ seguite da qualche $0$. Puo' $A$ essere un quadrato perfetto? :)
Lascio qui sotto la soluzione per gli interessati, gli altri provino a risolverlo.
Testo nascosto:
Sia $A=66666...6600...0000$.
Innanzitutto il numero di zeri, ovvero il fattore $10^n$ deve essere pari, senno' $A$ non sarebbe un quadrato;
Definiamo un nuovo numero, $B$. $B$ non e' altro che $A$ senza gli zeri finali, ovvero senza il fattore $10^n$, avra' quindi un aspetto del genere:
$B=6666666...66$
Se $A$ era un quadrato, allora lo sara' ovviamente anche $B$ poiche' gli esponenti della sua fattorizzazione non sono stati toccati se non i $10$ (ricordiamo che gli esponenti dei fattori di un quadrato perfetto sono sempre pari, ovviamente).
Notiamo pero' che se dividiamo $B$ per il numero $2$ otteniamo un numero dispari: $\frac{B}{2}=333333...333$.
Cio' significa che $B$ aveva solo un fattore $2$ e quindi che non e' un quadrato, di conseguenza non sara' un quadrato neanche $A$.
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Re: Dimostra che A e' un quadrato.

Messaggioda Roob » 15/04/2017, 14:56

No.
Il numero è uguale a [tex]6\cdot 10^n \cdot 111\dots 11[/tex] con 600 uni.
Se [tex]n[/tex] è pari abbiamo un numero pari di fattori [tex]5[/tex] ma uno dispari di fattori [tex]2[/tex], se [tex]n[/tex] è dispari il contrario.

EDIT: è praticamente uguale alla tua, ma vabbe'
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Re: Dimostra che A e' un quadrato.

Messaggioda CosecantofPi » 15/04/2017, 19:54

Roob ha scritto:No.
Il numero è uguale a [tex]6\cdot 10^n \cdot 111\dots 11[/tex] con 600 uni.
Se [tex]n[/tex] è pari abbiamo un numero pari di fattori [tex]5[/tex] ma uno dispari di fattori [tex]2[/tex], se [tex]n[/tex] è dispari il contrario.

EDIT: è praticamente uguale alla tua, ma vabbe'

Non capisco il tuo punto.. mi stai facendo una correzione oppure parli di un altro problema? Sono piuttosto sicuro di cio' che ho scritto.. ho riportato problema e soluzione quasi tale e quale a quella che possiamo trovare sul libro di Engels "Problem Solving Strategies"..
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Re: Dimostra che A e' un quadrato.

Messaggioda Roob » 15/04/2017, 21:05

No, assolutamente, solo ho scritto la soluzione prima di leggere la tua e poi mi sono accorto che erano identiche. Il "no" era riferito alla domanda "può [tex]A[/tex] essere un quadrato perfetto?"
:)
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Re: Dimostra che A e' un quadrato.

Messaggioda CosecantofPi » 15/04/2017, 21:41

Ah, perfetto, scusa.. Volevo aggiungere una cosa, che nel mio testo ho trascurato: possiamo trovare delle cifre zero anche dentro il numero stesso, e in quel caso la soluzione è la stessa. Scusa se ho interpretato male il tuo commento :P
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