[L02] Dalla gara di Febbraio

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L02] Dalla gara di Febbraio

Messaggioda Dudin » 25/06/2017, 18:27

Dimostrare che esistono infinite terme di interi distinti (a, b, c) tali che [tex]a^2 + b^2 = 2c^2[/tex] e calcolare il minimo valore che può assumere c
Dudin
 
Messaggi: 90
Iscritto il: 15/02/2017, 14:13

Re: [L02] Dalla gara di Febbraio

Messaggioda feddd » 25/06/2017, 20:00

Vedo che [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] o sono entrambi pari o entrambi dispari.
Parto dalla seconda ipotesi e provo i vari casi con [tex]a[/tex] il più piccolo possibile ovvero [tex]a=1[/tex].
Sostituendo [tex]b[/tex] con [tex]3,5,7[/tex] noto che [tex]1^2 + 7^2 = 2 \cdot 5^2[/tex]
e per induzione vale per tutte le terne [tex]1k,7k,5k[/tex] con [tex]k[/tex] intero.
Si dimostra che [tex]c=5[/tex] è il più piccolo valore possibile passando i casi possibili (che sono 4), abbastanza pochi.
È una risposta un po' alla "flusso di coscienza" di Joyce e un po' macchinosa ma è la prima che mi è venuta in mente... :D
feddd
 
Messaggi: 26
Iscritto il: 01/03/2017, 17:46

Re: [L02] Dalla gara di Febbraio

Messaggioda Dudin » 25/06/2017, 20:38

È corretta :D
Dudin
 
Messaggi: 90
Iscritto il: 15/02/2017, 14:13

Re: [L02] Dalla gara di Febbraio

Messaggioda Salvador » 26/06/2017, 11:14

Si può anche fare così:
Se $x,y,z$ sono i tre termini di una terna pitagorica con $x^2+y^2=z^2$ allora si dimostra (te lo lascio da fare)(senza perdita di generalità $a\ge b, x\ge y$) che $a=x+y, b=x-y, c=z$. Poiché $(3,4,5)$ è la più piccola terna pitagorica, il minimo valore di $c$ è proprio $5$.
Salvador
 
Messaggi: 265
Iscritto il: 26/11/2016, 11:55

Re: [L02] Dalla gara di Febbraio

Messaggioda CosecantofPi » 29/06/2017, 23:16

Salvador ha scritto:Si può anche fare così:
Se $x,y,z$ sono i tre termini di una terna pitagorica con $x^2+y^2=z^2$ allora si dimostra (te lo lascio da fare)(senza perdita di generalità $a\ge b, x\ge y$) che $a=x+y, b=x-y, c=z$. Poiché $(3,4,5)$ è la più piccola terna pitagorica, il minimo valore di $c$ è proprio $5$.

$(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2 = 2z^2$
Segue banalmente la divisione per $2$ che porta a $x^2 + y^2 = z^2$ c.v.d
LOL
CosecantofPi
 
Messaggi: 41
Iscritto il: 15/04/2017, 13:34


Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite