[L03] Dal Cese messicano

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[L03] Dal Cese messicano

Messaggioda Veritasium » 28/02/2016, 20:49

Sia [tex]\triangle ABC[/tex] un triangolo acutangolo con ortocentro [tex]H[/tex] e sia [tex]PQ[/tex] un segmento per [tex]H[/tex] tale che [tex]P[/tex] giaccia su [tex]AB[/tex], [tex]Q[/tex] giaccia su [tex]AC[/tex] e tale che [tex]\angle PHB = \angle CHQ[/tex]. Sia poi [tex]M[/tex] sulla circoscritta di [tex]\triangle ABC[/tex] il punto medio dell'arco [tex]BC[/tex] che non contiene [tex]A[/tex]. Dimostrare [tex]MP = MQ[/tex]

Edit: ovviamente sezione sbagliata, si può spostare in Geometria?
Veritasium
 
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Re: [L03] Dal Cese messicano

Messaggioda emanuelecampeotto » 29/02/2016, 16:56

Sia [tex]K_X[/tex] il piede dell'altezza uscente dal generico vertice [tex]X[/tex]. Allora [tex]PHB=QHK_B[/tex] perché opposti al vertice. Ma allora [tex]CHQ=QHK_B[/tex], dunque PQ é bisettrice di [tex]BHK_C[/tex] e [tex]CHK_B[/tex]. Ne segue che [tex]APQ=AQP[/tex] perché coincidenti con angoli corrispondenti dei triangoli rettangoli simili [tex]HPK_C[/tex] e [tex]HPK_B[/tex]. Dunque [tex]APQ[/tex] é isoscele, in particolare [tex]AP=AQ[/tex]. Essendo [tex]M[/tex] punto medio dell'arco [tex]BC[/tex] si ha che gli angoli alla circonferenza [tex]BAM[/tex] e [tex]MAC[/tex] sono congruenti. Per questo fatto, per il fatto che [tex]AP=AQ[/tex] e per il fatto che [tex]AM[/tex] é comune ai triangoli [tex]APM[/tex] e [tex]AQM[/tex], segue, per il primo criterio di congruenza, la congruenza fra i triangoli [tex]APM[/tex] e [tex]AQM[/tex]. In particolare, la tesi. ●
emanuelecampeotto
 
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