Cose note

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Messaggioda Livex » 27/04/2016, 10:07

In gara può essere dato per noto che un quadrilatero è inscrivibile se e solo se il punto di intersezione delle due diagonali ha la stessa potenza rispetto alle due diagonali?

E se ho un triangolo con due mediane/altezze/bisettrici uguali posso dire che è iscoscele o devo dimostrare?
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Re: Cose note

Messaggioda Rho33 » 27/04/2016, 16:51

Se con la prima domanda intendi il teorema delle due corde, credo proprio di sì! ( cioè prendi due corde $AB,CD$ che si intersecano in $E$ , allora ovviamente $ABCD $ è ciclico e vale $AE \cdot EB=CE \cdot ED$ ) .

Per quanto riguarda la seconda domanda, tralasciando che con le mediane e le altezze ci vuole una riga l'uno a dimostrarlo, è pure un vecchio Febbraio quindi credo si possa dare per scontato. Per quanto riguarda le bisettrici, sinceramente non so, il teorema si chiama "Steiner-Lehmus" , quindi citandolo correttamente lo dovresti poter usare, altrimenti rifai la dimostrazione, che non è brevissima però.
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Re: Cose note

Messaggioda Livex » 27/04/2016, 19:23

La cosa delle bisettrici l'avevo fatta la scorsa estate in trigonometria tra l'altro :D
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Re: Cose note

Messaggioda Livex » 27/04/2016, 21:38

Ah e si, intendevo l'inverso del teorema delle corde, ovvero che se due segmenti (tu non sai a priori che sono corde) rispettano il teorema delle corde allora sono corde di una stessa circonferenza
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Re: Cose note

Messaggioda Rho33 » 12/05/2016, 18:00

Ah, ok, l'ho letto soltanto ora! Comunque, mi sbagliavo prima, l'inverso del teorema delle due corde viene in meno di mezza riga :lol: :lol:

Sostanzialmente si fa nel classico modo con cui si dimostra l'inverso di Ceva o l'inverso del teorema della bisettrice interna o esterna.

Enunciato: Dati due segmenti $AB,CD$ , sia $P$ la loro intersezione (che esiste ed è distinta dal resto). Se $AP \cdot PB= CP \cdot PD$ allora $ACBD$ ciclico.

Dimostrazione: Sia $\Gamma $ la circoscritta a $\triangle ACB$ . Per assurdo, sia $D'= CD \cap \Gamma$ . Alllora $ACD'B$ è ciclico e per il teorema delle due corde vale: $AP \cdot PB= CP \cdot PD'$ . Ma allora $PD'=PD$ e quindi $D \equiv D'$ .
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