Coppie a Gas

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Coppie a Gas

Messaggioda Giovanni98 » 12/04/2015, 9:26

Trovare tutte le coppie di interi (positivi e negativi) tali che $x^2 + y^2 \le 10^{12} $
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Re: Coppie a Gas

Messaggioda Delfad0r » 12/04/2015, 11:50

Supponendo che venga richiesto solo il numero di tali coppie e non effettivamente tutte le coppie.

Risposta:
Testo nascosto:
$9999$

Risposta seria:
Testo nascosto:
$3141592649625$

Dimostrazione seria

Commento
Testo nascosto:
Non so se ci sia un modo veloce per calcolare effettivamente la risposta al problema, anche se ne dubito alquanto, altrimenti avremmo metodi veloci per calcolare $\pi$ con precisione arbitraria (ce ne sono, chiaramente, ma non credo che la gente che scrive le gare a squadre si aspetti che i partecipanti li sappiano, tanto più che poi il risultato qui non è esattamente $\lfloor 10^{12}\pi\rfloor$).
Se il problema cui ti riferisci chiede invece solo le prime tre cifre del numero, allora puoi rispondere con sicurezza $314$. Infatti
  • Il numero cercato è dell'ordine di $10^{12}\pi$, cioè l'area del cerchio di raggio $10^6$. In realtà il problema chiede il numero di punti e non l'area, ma questa cosa è trascurabile (sarebbe un $\alpha10^6$ su una risposta di $\beta10^{12}$).
  • Trascuriamo dunque i punti sugli assi, e concentriamoci sull'area della figura quadrettata che si ottiene, che è esattamente uguale al numero di punti che mi interessano meno quelli sugli assi. L'area di questa figura è sicuramente $\le 10^{12}\pi$; al contempo, l'area è anche $\ge(10^6-\sqrt{2})^2\pi>(10^{12}-4\cdot10^6)\pi$.
  • Ma allora si vede subito che le prime tre cifre devono essere quelle di $10^{12}\pi$ (poi è una gara a squadre, non bisogna formalizzare troppo :P ).
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Re: Coppie a Gas

Messaggioda Drago » 12/04/2015, 12:37

Dimostrazione veramente seria (che poi è il tuo commento) :P
http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html

P.S: ora ti dai al Python? :D
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Re: Coppie a Gas

Messaggioda Lasker » 12/04/2015, 12:38

MALEDETTI COLORO CHE INTEGRANO CON MONTECARLO :lol:
(in gara avrò riso 10 minuti buoni dopo averlo risolto )
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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