[L03?] Conti semplici e veloci

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

[L03?] Conti semplici e veloci

Messaggioda Salvador » 09/06/2017, 15:14

Cesenatico 2007 - 3
Sia $ABC$ un triangolo con baricentro $G$. Sia $D\ne A$ un punto sulla retta $AG$ tale che $AG = GD$, e sia $E\ne B$ un punto sulla retta $GB$ tale che $GB=GE$. Sia infine $M$ il punto medio di $AB$. Dimostrare che il quadrilatero $BMCD$ è inscrittibile in una circonferenza se e solo se $BA=BE$.
Secondo me in conti è anche più semplice e veloce della sintetica.
Salvador
 
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Re: [L03?] Conti semplici e veloci

Messaggioda Dudin » 21/07/2017, 15:43

Il quadrilatero BDCG è un parallelogramma perché le sue diagonali si tagliano a metà nel punto di intersezione tra il prolungamento della mediana e del lato diviso da essa. In particolare l'angolo BDC= BGC perché angoli opposti di un parallelogramma.



Infine affinché BDCM sia ciclico l'angolo GMB + BDC =180. Ma, dato che sono angoli opposti, BGC +BGM = 180 quindi BDC + BGM = 180, quindi il quadrilatero è ciclico quando BGM = GMB. Cioè il triangolo BGM deve essere isoscele. Ciò avviene quando il triangolo BEA (simile al triangolo BGM) e isoscele cioè quando BE =BA
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