[L02/3] Colori! 2

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[L02/3] Colori! 2

Messaggioda Gerald Lambeau » 09/03/2016, 15:02

Ogni intero positivo è colorato di rosso o di blu. Dimostrare che esistono due interi distinti $a, b$ tali che $a, b, a+b$ hanno tutti lo stesso colore.
BONUS [L04/5] (a meno che io mi stia perdendo una soluzione ovvia direi che il livello del bonus è quello): ogni intero positivo è colorato di rosso, di verde o di blu. Dimostrare che esistono tre interi distinti $a, b, c$ tali che $a, b, c, a+b, b+c, c+a, a+b+c$ hanno tutti lo stesso colore.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L02/3] Colori! 2

Messaggioda emanuelecampeotto » 09/03/2016, 21:10

Il primo:
Testo nascosto:
Di sicuro esistono due interi positivi [tex]x<y[/tex]dello stesso colore, WLOG rosso. Supponiamo falsa la tesi. Allora devono essere blu i numeri [tex]y-x[/tex] e [tex]x+y[/tex]. Ma allora [tex](y-x)+(x+y)=2y[/tex] deve essere rosso. Allora [tex](x)+(2y)[/tex] e [tex](y)+(2y)=3y[/tex] devono essere blu. Cioè abbiamo ottenuto che [tex]y-x[/tex], [tex]x+2y[/tex] e [tex]3y[/tex] sono dello stesso colore, quindi assurdo, quindi tesi.
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Re: [L02/3] Colori! 2

Messaggioda Gerald Lambeau » 09/03/2016, 21:13

Buona.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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