Cesenatico 2017 - problema 4

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Cesenatico 2017 - problema 4

Messaggioda Massimiliano » 01/10/2017, 18:40

Ciao a tutti,
recentemente mi sono imbattuto in questo problema della finale nazionale di quest'anno:
ABCD è un tetraedro con la seguente proprietà: detti A′, B′, C′, D′, rispettivamente, gli incentri delle facce BCD, ACD, ABD ed ABC, si ha che le rette AA′, BB′, CC′ e DD′ hanno un punto in comune. Dimostrare che il prodotto delle lunghezze di due spigoli opposti del tetraedro è costante, ossia che AB · CD = AC · BD = AD · BC.
Ho tentato qualche approccio, ma non so proprio come risolverlo. Qualcuno mi può aiutare a capire? Grazie in anticipo.
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Re: Cesenatico 2017 - problema 4

Messaggioda matpro98 » 01/10/2017, 20:39

Ragiona con la geometria piana, triangolo per triangolo. Che teorema bello c'è con gli oggetti che hai a disposizione? Ti accorgerai probabilmente che se dimostri una cosa in geometria solida (ma facile) dei punti coincidono. Ma allora hai finito.


Altrimenti, baricentriche, ma attento perché essendo solida, non è affatto scontato come usarle.
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Re: Cesenatico 2017 - problema 4

Messaggioda Massimiliano » 01/10/2017, 21:12

Allora...
con il teorema della bisettrice dimostro che la tesi è valida se e solo se le i piedi delle bisettrici uscenti da A e D su BC coincidono (per esempio).
Adesso mi pare facile, no?
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Re: Cesenatico 2017 - problema 4

Messaggioda matpro98 » 02/10/2017, 6:48

Yes
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