Cesenatico 1996 1

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Cesenatico 1996 1

Messaggioda Rho33 » 27/02/2016, 16:38

Tra tutti i triangoli di lato [tex]l[/tex] e superficie [tex]S[/tex] fissati, trovare quelli dove il prodotto delle tre altezze sia massimo.
Rho33
 
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Re: Cesenatico 1996 1

Messaggioda Salvador » 12/04/2017, 13:37

Testo nascosto:
Dette $h_{1},h_{2},h_{3}$ le tre altezze e $l_{1}=l,l_{2},l_{3}$ i tre lati, si ha $h_{1}h_{2}h_{3}=\dfrac{S^3}{l_{1}l_{2}l_{3}}$. Poiché $h_{1}=\dfrac{S}{l_{1}}$ e questi due sono costanti, possono essere eliminati da entrambi i membri, ottenendo $h_{2}h_{3}=\dfrac{S^2}{l_{2}l_{3}}$. Detto $\theta$ l'angolo tra questi due lati, si ha per la formula dell'area $l_{2}l_{3}=\dfrac{2S}{\sin \theta}$, che sostituendo dà $h_{2}h_{3}=\dfrac{S \sin \theta}{2}$. Per massimizzare si deve avere $\sin \theta = 1$, ovvero l'angolo tra gli altri due lati dev'essere retto.
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