Cesenatico 1994 - N° 3

Esercizi sulla verità delle proposizioni e problemi che non sembrano rientrare in nessun'altra categoria.

Cesenatico 1994 - N° 3

Messaggioda Gerald Lambeau » 19/03/2015, 21:55

EDIT: tutto eliminato dato che appena ho poggiato la testa sul cuscino ieri sera, immaginandomi una possibile risposta di Drago che avrebbe stra-semplificato tutto, mi è effettivamente venuto in mente un ragionamento corto e più semplice che stra-semplifica tutto :D .
Per chi volesse diventare matto leggendo la vecchia soluzione:
Testo nascosto:
TESTO:
Un giornalista deve fare un articolo su una classica isola di furfanti e cavalieri, in cui tutti gli abitanti o mentono sempre (e sono furfanti) o dicono sempre la verità (e sono cavalieri) e tutti si conoscono reciprocamente. Supponiamo che il giornalista intervisti una e una sola volta tutti gli abitanti ed ottenga nell'ordine le seguenti risposte:
[tex]A_1[/tex]: “Sull'isola c'è almeno [tex]1[/tex] furfante.”.
[tex]A_2[/tex]: “Sull'isola ci sono almeno [tex]2[/tex] furfanti.”.
. . .
[tex]A_{n-1}[/tex]: “Sull'isola ci sono almeno [tex]n-1[/tex] furfanti.”.
[tex]A_n[/tex]: “Sull'isola ci sono [tex]n[/tex] furfanti.”.
Può il giornalista stabilire se sull'isola ci sono più furfanti o più cavalieri?
SOLUZIONE:
Per capire come funzionano le due notazioni, quella del testo e quella che ho impostato io, usate allo stesso tempo, ecco una breve legenda: [tex]A_g=A_{n_{n-g+1}}[/tex] nella mio sistema di notazione è uguale ad [tex]A_{n-g+1}[/tex] nella notazione del testo.
Sia [tex]k[/tex] il numero di furfanti.
Numero gli abitanti dell'isola in ordine inverso, cioè pongo [tex]A_m=A_{n-m+1}[/tex], inoltre ogni qualvolta venga indicato un [tex]A_{n_i}[/tex] indicherà [tex]A_i[/tex] secondo la notazione fornita dal problema, al fine di non confondere le due notazioni.
Se [tex]A_1[/tex] dicesse la verità dovrebbe essere un furfante e mentire, allora mente e [tex]k \le n-1[/tex].
Se [tex]A_2[/tex] dicesse la verità dovrebbero mentire tutti quegli [tex]A_{n_j}[/tex] prima di lui, ma se [tex]a \ge b[/tex] allora [tex]A_{n_a}[/tex] dice il vero implica [tex]A_{n_b}[/tex] dice il vero, dunque [tex]A_2[/tex] mente.
Supponendo di essere arrivati a un punto sufficientemente avanzato fino al quale questo ragionamento funziona, diciamo la metà, distinguiamo due casi:
a) [tex]n=2x, m=x[/tex] con [tex]x[/tex] intero positivo, cioè devo controllare la veridicità della parola di [tex]A_m[/tex].
So che [tex]A_{m-1}=A_{x-1}[/tex], che affermava l'esistenza di almeno [tex]n-(m-1)+1=2x-(x-1)+1=x+2[/tex] furfanti, mentiva, cioè [tex]k \le x+1[/tex].
[tex]A_m[/tex] afferma [tex]k \ge n-m+1=2x-x+1=x+1[/tex], ma allora se dicesse la verità ci dovrebbe essere qualche [tex]A_{n_h}[/tex] prima di lui che mente, che come detto prima è impossibile.
Allora [tex]A_m=A_x[/tex] mente, abbiamo [tex]x[/tex] furfanti e [tex]x[/tex] abitanti e, considerando tutte le affermazioni di chi non abbiamo ancora controllato, e cioè basta considerare solo quella di [tex]A_{m+1}=A_{n_x}[/tex] che afferma [tex]k \ge x[/tex], notiamo che in effetti al momento è vero perciò rende tutte le altre vere. Se uno solo di loro mentisse, avremmo [tex]x+1[/tex] furfanti e tutte le frasi di chi non abbiamo ancora controllato vere, anche quella del presunto furfante, perciò non è possibile e dobbiamo interrompere qui il nostro ragionamento: i cavalieri sono tanti quanti i furfanti.
b) [tex]n=2x+1[/tex] e [tex]m=x[/tex] con [tex]x[/tex] intero, come sopra devo controllare la veridicità della parola di [tex]A_m[/tex].
Vale di nuovo la falsità di [tex]k \ge n-(m-1)+1=2x+1-(x-1)+1=x+3[/tex], cioè [tex]k \ge x+2[/tex].
[tex]A_m[/tex] afferma [tex]k \ge n-m+1=2x+1-x+1=x+2[/tex], ma io so che quegli [tex]x-1[/tex] che ho controllato mentono, perciò ci devono essere ben [tex]x+2-(x-1)=3[/tex] abitanti dell'isola [tex]A_{n_h} < A_{n_{x+2}}[/tex] che mentono, che abbiamo ormai capito che non ha senso! Allora [tex]A_m[/tex] mente.
Provo [tex]A_{m+1}=A_{x+1}[/tex].
Sempre con i soliti ragionamenti ho falso [tex]k \ge n-m+1=2x+1-x+1=x+2[/tex], di nuovo [tex]k \ge x+1[/tex].
Ma questo abitante afferma [tex]k \ge n-(m+1)+1=n-m=2x+1-(x+1)+1=x+1[/tex].
Vedo cosa succede se [tex]k=x+1[/tex]:
so già che almeno [tex]x[/tex] abitanti dell'isola mentono e ho supposto che [tex]A_{n_{x+1}}[/tex] dice il vero, quindi mente qualcuno di quelli che devo ancora controllare, ma è impossibile, perciò [tex]A_{m+1}[/tex] mente.
Ma ora ho [tex]x[/tex] furfanti, perciò [tex]A_{m+1}[/tex] dice la verità.
Sono giunto a un paradosso: non posso tornare indietro poiché è da lì che sono partito, e se vado più avanti ho contraddizioni sempre maggiori e banalmente ovvie che seguono da questa.
Ne deriva che [tex]n[/tex] non può essere dispari e da quanto detto sopra i furfanti sono uguali ai cavalieri, ed è quello che il giornalista può concludere, come richiesto.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Cesenatico 1994 - N° 3

Messaggioda gabrimoros 1 » 21/03/2015, 12:28

Allora premettiamo che sono alquanto inesperto e dopo aver letto una riga di quanto hai scritto mi è partita la testa; detto ciò ho provato a risolvere il problema con il metodo che utilizzo per le olimpiadi di matematica ( un po' tentavi, un po' intuito...)
Allora, io ho ragionato a ritroso pensando che l'ultimo abitante abbia detto di sicuro il falso (furfante) perchè se la sua affermazione fosse stata vera non tutti gli abitanti sarebbero stati dei furfanti. Il penultimo abitante intervistato ho pensato che anche lui dicesse il falso (furfante) in quanto la sua affermazione non può essere vera, considerando che se lo fosse stata tutti gli abitanti prima di lui avrebbero detto il vero (cavalieri) facendo cadere la sua affermazione.
Guardando invece le prime affermazioni posso dirle vere in catena fino a quando si arriva all' intervistato n/2 il quale dirà il falso (furfante) e quindi da lui tutti gli altri abitanti fino all'intervistato n. Quindi avremo una metà di n cavalieri e la seconda metà di n furfanti.
Se ho sbagliato qualcosa non insultarmi troppo che altrimenti la mia passione per la matematica, che sta crescendo poco alla volta, sarà troncata di netto :D
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Re: Cesenatico 1994 - N° 3

Messaggioda Gerald Lambeau » 21/03/2015, 15:45

Anche se detto un po' colloquialmente è lo stesso ragionamento che ho fatto io riassunto, una soluzione decente si troverebbe a metà strada tra le due versioni ma sarebbe più simile alla tua che alla mia e tranquillo, neanche un esperto capirebbe ciò che ho scritto :mrgreen:
Ecco un ragionamento giusto, veloce e pulito:
chiamo [tex]f[/tex] il numero di furfanti e [tex]c[/tex] il numero di cavalieri.
Se [tex]f>c[/tex] ho che fino all'abitante [tex]A_f[/tex] dicono il vero, mentre dall'[tex]A_{f+1}[/tex] in poi mentono, cioè esattamente [tex]f[/tex] cavalieri, assurdo.
Se [tex]c>f[/tex] ho che fino all'abitante [tex]A_f[/tex] dicono il vero, mentre dall'[tex]A_{f+1}[/tex] in poi mentono, cioè esattamente [tex]f[/tex] cavalieri, assurdo.
In generale, se esistono [tex]f[/tex] furfanti esistono esattamente [tex]f[/tex] cavalieri e [tex]n=2f=2c[/tex].
Se [tex]n[/tex] è dispari, valgono i ragionamenti sopra anche nei casi estremi [tex]f+1=c, f-1=c[/tex]. In particolare, in questo caso non è possibile rispettare le ipotesi del testo.
In definitiva, il giornalista può concludere che ci sono tanti furfanti quanti cavalieri.
PS: perché dovrei insultarti? XD Siamo qui per migliorare, è normale essere inesperti all'inizio!
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Re: Cesenatico 1994 - N° 3

Messaggioda gabrimoros 1 » 21/03/2015, 15:57

Finalmente parliamo la stessa lingua :lol:
Ho detto così solo per mettere le mani in avanti, mi sembrava strano che un pivellino alle prime armi potesse essere d'aiuto su questo forum :D :D
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Re: Cesenatico 1994 - N° 3

Messaggioda Gerald Lambeau » 21/03/2015, 16:03

Vai tranquillo che ci si vuol bene tutti, non ti offende nessuno se non sai una cosa e anzi, se davvero non hai letto quell'obbrobrio, e ti capirei, ma hai risolto da solo il problema, significa che non sei così pivello! :)
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