Cesenatico 1994 1

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Cesenatico 1994 1

Messaggioda Rho33 » 26/02/2016, 21:34

Si dimostri che esiste un intero [tex]N[/tex] tale che per ogni [tex]n\geq N[/tex] è possibile suddividere un quadrato in [tex]n[/tex] quadratini a due a due disgiunti( Due quadratini sono disgiunti se non hanno punti interni in comune).
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Re: Cesenatico 1994 1

Messaggioda Giovanni98 » 28/02/2016, 13:31

Se è possibile suddividere un quadrato in $n$ quadratini allora è possibile farlo anche per $n+3$. Infatti ci basta prendere un quadrato utilizzato per la suddivisione del caso $n$ e dividerlo in $4$ quadratini congruenti (è banalmente possibile, comunque si fa tracciando le parallele ai lati dei quadrati passanti per i punti medi dei lati paralleli). Pertanto avremo guadagnato $3$ quadratini. Pertanto è sufficiente trovare un $n$ per ogni possibile classe di resto modulo $3$. Per gli $n \equiv 1 \pmod 3$ prendo $n=4$, per $n \equiv 2 \pmod 3$ prendo $n = 8$ e per $n \equiv 0 \pmod 3$ prendo $n=9$. Quindi, il nostro $N$ vale $7$. Chiaramente ora mostriamo la configurazione per $n=8$ (per $n=4$ e $n=9$ è banale). Consideriamo un quadrato di lato $5$ (giusto per farci l'idea, chiaramente funziona qualsiasi sia la lunghezza del lato del quadrato) e dividiamolo in $25$ caselle di ugual lunghezza (quindi $1$). Adesso, disponiamo un quadrato $3\times3$ partendo dalla casella in alto a sinistra e disponiamo due quadratini di lato unitario sulla prima riga del quadrato alla destra del quadrato $3 \times 3$. Adesso disponiamo $2$ quadrati di lato $2$ uno alla destra dell'altro a partire dalla prima casella della quarta riga e due quadratini di lato uno disposti uno sopra l'altro dove uno dei due è posizionato in basso a destra. A questo punto basta porre un quadrato di lato $2$ nello spazio rimanente (che dovrebbe essere all'estremità destra relativa alle righe $2$ e $3$. Contando i quadratini utilizzati questi risultano essere proprio $8$.

P.S.: Le righe sono numerate da $1$ a $5$ a partire dall'alto.
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Re: Cesenatico 1994 1

Messaggioda Rho33 » 28/02/2016, 14:28

Allora, in realtà
Testo nascosto:
l' $N$ che hai trovato non va bene perchè non è il minimo! Ti consiglio di cercare un $n \equiv 0 \pmod 3$ minore di $9$ ( cioè $n=6$ funziona ) . In caso volessi vedere una strategia per ottenere tutti i pari $>2$ , ho postato la mia soluzione ( spero giusta!) nel topic " stile dimostrativo-Combinatoria e probabilità" qui http://forum.olimato.org/stile-dimostrativo-combinatoria-e-probabilita-t2123.html, altrimenti, continua a tentare :D
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Re: Cesenatico 1994 1

Messaggioda Giovanni98 » 28/02/2016, 14:31

In realtà va piú che bene dal momento che il testo chiede di dimostrare l'esistenza di quell'$N$ e non il minimo pertanto avrei potuto anche dire $N=17247247$, andava bene lo stesso.
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Re: Cesenatico 1994 1

Messaggioda Rho33 » 28/02/2016, 14:36

Mhh, ok mi fido, errore mio allora! Va bene, in questo caso la soluzione è giusta, ma non ottimale :lol: ( anche se non era richiesto che fosse ottimale :lol: ). Per curiosità, la mia ti sembra funzionare? :D
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