Cesenatico 1992 1

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Cesenatico 1992 1

Messaggioda Rho33 » 25/02/2016, 22:27

Diremo che una retta interseca propriamente un cubo se passa per un punto interno al cubo. Dato un cubo suddiviso in [tex]27[/tex] cubetti uguali, si dica qual è il massimo numero di cubetti che una retta può intersecare propriamente.

P.S: Di questo problema non ho ancora una soluzione ortodossa, diciamo che è abbastanza sperimentale :lol:
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Re: Cesenatico 1992 1

Messaggioda carlotheboss » 29/03/2016, 21:19

Peraltro bello il 1992: l'esercizio 1 è il più difficile di tutti e sei (almeno a mio parere ahah)
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Re: Cesenatico 1992 1

Messaggioda mr96 » 29/03/2016, 23:33

Il risultato numerico è
Testo nascosto:
7?

Se non sbaglio c'era in un campigotto biennio di quest'anno una roba simile... Ed era il problema che valeva di più :lol:
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Re: Cesenatico 1992 1

Messaggioda Lasker » 30/03/2016, 9:47

E la soluzione era più o meno "si vede subito che la risposta è: ..." :lol:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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Re: Cesenatico 1992 1

Messaggioda Rho33 » 30/03/2016, 22:43

Sì la risposta è quella, come confermano i modellini di carta da me costruiti tempo fa :lol: Potreste postare questa fantomatica soluzione? Io oltre a ragionare un minimo sui $6$ piani differenti non ho concluso nulla di concreto :oops:
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Re: Cesenatico 1992 1

Messaggioda mr96 » 30/03/2016, 23:39

Rho33 ha scritto:Sì la risposta è quella, come confermano i modellini di carta da me costruiti tempo fa :lol: Potreste postare questa fantomatica soluzione? Io oltre a ragionare un minimo sui $6$ piani differenti non ho concluso nulla di concreto :oops:

Sono un po' incasinato con le lezioni, nel weekend se ho tempo provo a formalizzarla decentemente, io farei una roba simile, prova su questa strada se vuoi
Testo nascosto:
Se hai un cubo di volume [tex]n^3[/tex] si vede abbastanza facilmente che il massimo è per forza [tex]\leq 3n-2[/tex], in sostanza ne passi [tex]n[/tex] per ognuna delle tre direzioni, ma quello di "entrata" della retta è comune a tutte le direzioni, quindi l'hai contato $3$ volte. Detto ciò ti basta provare a costruire un esempio dove questo accade...
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Re: Cesenatico 1992 1

Messaggioda emanuelecampeotto » 01/04/2016, 7:55

Testo nascosto:
Associamo ad ognuno dei 27 cubetti la terna di coordinate intere [tex](x,y,z)[/tex] con [tex]0<x,y,z<4[/tex]. Sia [tex]C_1,...,C_n[/tex] la sequenza di cubetti attraversati dalla retta, dove [tex]C_1[/tex] ha somma delle coordinate minote o uguale rispetto a tutti gli altri [tex]C_i[/tex]. Si osserva che quando la retta passa da un certo [tex]C_k[/tex] a [tex]C_(k+1)[/tex] allora fa aumentare di 1 una, due oppure tre delle coordinate (in particolare, rispettivamente, se la retta passa per una faccia, uno spigolo, un vertice in comune ai due cubetti). Quindi la successione degli [tex]n[/tex] cubetti [tex]C_i[/tex]può essere messa in biezione con la successione di terne [tex](x_i,y_i,z_i)[/tex] dove [tex]x_i,y_i,z_i[/tex] sono successioni debolmente crescenti. Ora si osserva che il massimo numero di cubetti attraversati si ha quando ad ogni passaggio fra due cubetti contigui si aumenta di 1 solo una coordinata e si passa dalla terna [tex](1,1,1)[/tex] alla terna [tex](3,3,3)[/tex]. Ed é facile vedere che in questo caso i passaggi sono 6 (cioé due per ogni coordinata). Visto che il massimo numero di passaggi fra cubetti é 6, allora il massimo numero di cubetti é [tex]6+1=7[/tex].
D'altra parte si verifica che esiste una retta siffatta, per esempio una retta passante per: [tex](1,1,1),(2,1,1),(2,2,1),(2,2,2),(3,2,2),(3,3,2),(3,3,3)[/tex]
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