Cesenatico 1990 1

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Cesenatico 1990 1

Messaggioda Rho33 » 25/02/2016, 22:11

Si consideri un cubo di dimensioni [tex]3 \times 3 \times 3[/tex] formato da [tex]27[/tex] cubetti unitari. Quante sono le rette nello spazio che passano per esattamente tre centri di questi cubetti? Quante sono le rette nello spazio che passano per esattamente due centri di questi cubetti?

Soluzione:
Testo nascosto:
Per la prima domanda, bisogna considerare tre tipi di rette:

[tex]\bullet[/tex] Rette parallele agli spigoli: si nota facilmente che ci sono [tex]9[/tex] rette parallele all'asse [tex]x[/tex] , [tex]9[/tex] rette parallele all'asse [tex]y[/tex] , [tex]9[/tex] rette parallele all'asse [tex]z[/tex], in tutto [tex]27[/tex].

[tex]\bullet[/tex] Rette parallele alle facce: si osserva che per ogni parallelepipedo di 9 cubetti vi sono due diagonali parallele a due facce, quindi in tutto [tex]6[/tex] rette, ma dato che le facce sono parallele a due a due, si ottengono [tex]6 \cdot 3 = 18[/tex] rette.

[tex]\bullet[/tex] Rette non parallele a nulla: sono le [tex]4[/tex] diagonali del cubo.

In tutto [tex]27+18+4= 49[/tex] rette.

Per quanto riguarda la seconda domanda, numeriamo i cubetti da [tex]1[/tex] a [tex]27[/tex]. Chiaramente le rette che andavano bene per la prima

domanda, non vanno bene per la seconda, poichè i tre centri considerati sono allineati. Inoltre è bene notare che, data la retta passante per i centri

[tex]1,2,3[/tex], per quanto detto in precedenza, le rette passanti per [tex]1,2[/tex] o [tex]2,3[/tex] o [tex]1,3[/tex] , sono coincidenti. Allora,

notando che non esistono rette passanti per [tex]4[/tex] o più cubetti, calcoliamo le rette totali passanti per [tex]2[/tex] cubetti, ovvero

[tex]\displaystyle {27 \choose 2}[/tex]. Ad esse vanno tolte le rette passanti per esattamente [tex]3[/tex] centri, ognuna contata con molteplicità

[tex]3[/tex]. Da ciò si ottiene [tex]\displaystyle {27 \choose 2}[/tex][tex]- 3 \cdot 49 =204[/tex].
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Re: Cesenatico 1990 1

Messaggioda mr96 » 26/02/2016, 0:41

Farei solo notare una cosa: se il tuo scopo è quello di far correggere la tua dimostrazione a qualcuno esistono dei topic in ogni sezione sullo stile dimostrativo, ti consiglio di postare lì. Se invece ti interessa vedere altre soluzioni, ti sconsiglio di mettere la tua direttamente nel primo post, ma di metterla poi dopo che è già stato risolto, questo principalmente per invogliare gli altri a risolvere i problemi!
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Re: Cesenatico 1990 1

Messaggioda Rho33 » 26/02/2016, 7:10

Grazie mr96, comunque già avevo compreso dai post di bern nel topic Viareggio 1986, infatti a partire da Cesenatico 1991 non ho postato la mia soluzione. Grazie ancora!
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