[L02]Carte e binomiali

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

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Messaggioda Rho33 » 07/02/2016, 15:32

Dato un mazzo di [tex]n[/tex] carte, trovare la quantità intera [tex]k[/tex] di carte da estrarre affinchè il numero di combinazioni possibili sia massimo. (Ovvero: massimizzare [tex]\displaystyle {n \choose {k}}[/tex] ).

P.s Anche se si deve trovare un massimo, l'ho messo in combinatoria perchè sono convolte le combinazioni delle carte.
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Re: [L02]Carte e binomiali

Messaggioda Brionix » 13/02/2016, 12:12

Salve, colgo l'occasione per presentarmi poiché mi sono iscritto a questo forum ormai da quasi un annetto ma mi sono sempre limitato a leggere (e a cercare di capire qualcosa :mrgreen: ).
Sono Fabrizio e sono uno studente di seconda superiore (liceo scientifico), sono venuto a conoscenza di questo forum tempo fa e, come ho detto prima, non avevo le conoscienze per risolvere molti dei problemi proposti così mi sono limitato a leggere e a imparare.

Chiamo [tex]p_k[/tex] le possibili combinazioni di [tex]k[/tex] carte, quindi [tex]p_1[/tex] =[tex]{n \choose 1} = \frac {n} 1[/tex], mentre [tex]p_2={ n\choose2} = {\frac {n×(n-1)} {1×2}}= p_1 × \frac {n-1} 2[/tex]

Quindi generalizzando abbiamo che [tex]p_{k+1} = {\frac {n×(n-1)×...×(n-k+1)×(n-k)} {1×2×...×k×(k+1)}}=
\\
{{\frac {n×(n-1)×...×(n-k+1)} {1×2×...×k}}×{\frac {n-k} {k+1}}} =
p_k ×{\frac {n-k} {k+1}}[/tex]


Dove [tex]{\frac {n-k} {k+1}}[/tex] è sempre maggiore o uguale ad 1 (ovvero le combinazioni di [tex]k+1[/tex] carte sono maggiori di quelle con [tex]k[/tex]) finché [tex]k \le \frac {n-1} 2[/tex] , dopodichè con l'aumentare di [tex]k[/tex] le combinazioni di [tex]k+1[/tex] carte sono minori di quelle con [tex]k[/tex] carte. Quindi il massimo si ha con [tex]n \choose {(n+1)/2}[/tex] nel caso di [tex]n[/tex] dispari altrimenti [tex]{n \choose {n/2} }= {n \choose {(n+2)/2}}[/tex] nel caso di [tex]n[/tex] pari
Ultima modifica di Brionix il 13/02/2016, 14:56, modificato 4 volte in totale.
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Re: [L02]Carte e binomiali

Messaggioda Rho33 » 13/02/2016, 14:50

Salve anche a te! Bravo, la soluzione è giusta ed è la stessa che ho trovato io a questo problema!
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