[L03] Cannonabile

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L03] Cannonabile

Messaggioda Gerald Lambeau » 31/05/2016, 21:32

Dimostrare che esistono infiniti $m \in \mathbb{N}$ tali che $n^4+m$ non è primo per ogni $n \in \mathbb{N}$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda alexthirty » 31/05/2016, 22:49

Hintone
Testo nascosto:
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Rho33 » 01/06/2016, 12:06

Più che hintone, forse è l'unico modo sensato per farlo in 10 secondi :lol: :

Testo nascosto:
Prendo $m=4b^4$ ed ottengo:

$n^4+4b^4=n^4+4b^4+4n^2b^2-4n^2b^2=(n^2+2b^2)^2-4n^2b^2=(n^2+2b^2+2nb)(n^2+2b^2-2nb)$

In questo caso si nota pure che l'unico caso in cui è primo è per $n=b=1$


P.S.Che erano facili gli IMO nel 1969 eh!

P.P.S. MIni mini rilancio: Dimostrare che $3^{4^5}+4^{5^6}$ è prodotto di due interi, entrambi $>10^{2002}$
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Gerald Lambeau » 01/06/2016, 13:59

Buona!
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Salvador » 07/06/2017, 20:44

Testo nascosto:
Tutti gli $m$ dispari tali che $m\equiv -1 \bmod{3}$ vanno bene: infatti, se $n$ è dispari allora $m+n^4$ è pari e maggiore di 2 (perché $m \ge 5$); se $n$ è pari allora $n^4\equiv 1 \bmod{3}$ e dunque $n^4+m\equiv 0 \bmod{3}$ e $n^4+m>3$, dunque è un multiplo di 3 maggiore di 3, dunque non primo.
Ultima modifica di Salvador il 07/06/2017, 20:56, modificato 1 volta in totale.
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Gerald Lambeau » 07/06/2017, 20:53

$n=6, m=5 \Rightarrow n^4+m=6^4+5=1301$ che WolframAlpha dice essere primo e io mi fiderei.
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Salvador » 07/06/2017, 21:00

Aej e allora per forza come scritto sopra
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Salvador » 07/06/2017, 21:10

Oppure si può fare anche prendendo $m=nb^3$ e quindi si ha $n^4+m=n^4+nb^3=n(n^3+b^3)=n(n+b)(n^2-nb+b^2)$, in modo che l'ultimo fattore sia positivo.
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Gerald Lambeau » 07/06/2017, 21:23

$m$ non può essere in funzione di $n$, altrimenti sai solo che ogni $m$ funziona con almeno un $n$ ma non sai se funziona con tutti, che è quello che ti viene richiesto.
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Re: [L03] Cannonabile

Messaggioda Salvador » 07/06/2017, 23:02

Ci rinuncio.
Anche perché in effetti Sophie-Germain è più che soddisfacente
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