BMO 2009-2

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

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Messaggioda Rho33 » 28/08/2016, 22:55

Sia $\triangle ABC$ un triangolo e sia $MN$ una retta parallela a $BC$ che interseca $AB,AC$ in $M,N$ rispettivamente. Sia $P=BN \cap MN$ e sia $Q$ la seconda intersezione di $\odot (BMP), \odot (CNP)$. Dimostrare che $\angle BAQ= \angle CAP$.
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Re: BMO 2009-2

Messaggioda Gerald Lambeau » 28/08/2016, 23:07

Ti correggo un typo: $P=BN \cap CM$.
Ci tengo a dire che questo problema è molto noto :lol: . Inoltre la tecnica per risolverlo è la classica
Testo nascosto:
inversione più simmetria
.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: BMO 2009-2

Messaggioda Rho33 » 28/08/2016, 23:20

Noto in tutti i sensi mi sa :lol: (chissà se quest'anno lo sarà di nuovo...). Comunque sì, una soluzione veloce usa quello che dici tu, ma io ne ho un'altra carina senza, quindi, trovate quella :lol:
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Re: BMO 2009-2

Messaggioda Linda_ » 29/08/2016, 10:06

Io ne ho una con
Testo nascosto:
la simmediana! :)

In molto breve
Testo nascosto:
Per Ceva ad $\triangle ABC$ punto $P$ trovo che $AP$ è mediana di $\triangle ABC$; con un po' di angoli sfruttando la ciclicità di $BQPM$ e di $QCNP$ ricavo che $\triangle MQB$ e $\triangle NQC$ sono simili da cui, dette $H$ e $K$ le proiezioni di $Q$ su $AB$ e $AC$, $\frac{QH}{QK}=\frac{MB}{NC}$. Dato che $\frac{MB}{NC}=\frac{AB}{AC}$ (da $MN//AB$) ho $\frac{QH}{QK}=\frac{AB}{AC}$, quindi $Q$ sta sulla simmediana da $A$ di $\triangle ABC$ da cui la tesi
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Re: BMO 2009-2

Messaggioda Rho33 » 29/08/2016, 19:12

Yep! Mi riferivo proprio a quella con le simmediane :mrgreen: Quella a cui si riferiva Gerald è pure carina ma velocissima, come sketch:

Testo nascosto:
$Q$ è punto di Miquel, inversione+simmetria, fine per le proprietà dell'inversione.
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