[L02] Benvenuti pt.2

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

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Messaggioda Giovanni98 » 02/12/2015, 22:30

Si considerino i punti nel piano le cui coordinate $(x,y)$ sono intere e $1 \le y \le 4$ e $1 \le x \le 19$. Coloriamo ogni punto di rosso,verde o giallo. Dimostrare che esiste un rettangolo con i lati paralleli agli assi e con vertici di stesso colore.
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Re: [L02] Benvenuti pt.2

Messaggioda CaptainJohnCabot » 06/12/2015, 14:34

Ok, provo a dare io una risposta anche se probabilmente non sarà molto precisa :lol:


Testo nascosto:
Dall'ipotesi si nota che, dato un rettangolo generico ABCD, i punti A e B avranno le ascisse uguali, A e C le ordinate, C e D di nuovo le ascisse e B e D ancora le ordinate. Si considerano quattro punti che hanno ascissa uguale, per il pigeonhole almeno due avranno lo stesso colore. Si hanno 18 possibili modi per scegliere questi due punti. Quindi l'esistenza del rettangolo ABCD segue dal fatto che i possibili valori di x sono 19, dato che, applicando nuovamente il pigeonhole, si ha che almeno una disposizione si trova ripetuta almeno due volte.
Scegliendo invece di due punti di uguale colore (minimo), tre o quattro punti la dimostrazione rimane valida in quanto si hanno meno modi di scegliere i tre (o quattro) punti.
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Re: [L02] Benvenuti pt.2

Messaggioda Giovanni98 » 07/12/2015, 9:48

Buona :D
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Re: [L02] Benvenuti pt.2

Messaggioda Gerald Lambeau » 07/12/2015, 12:51

E volendo si può generalizzare con $n$ colori e un rettangolo di $\displaystyle (n+1) \times \left(n \cdot \binom{n+1}{2}+1\right)$ punti a coordinate intere.
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