Baricentriche in 3D

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Baricentriche in 3D

Messaggioda Rho33 » 16/08/2016, 16:45

Ecco un problema che viene facile se si estendono le baricentriche a tre dimensioni, ma presenta anche una bella soluzione sintetica! :D So che a nessuno piace la geometria solida ( :oops: ), però questo non è malaccio, assicurato!

Nel tetraedro $ABCD$ la somma delle aree delle facce $[ABC], [ABD]$ è uguale alla somma delle aree delle facce $[ACD], [BCD]$. Siano $E,F,G,H$ i punti medi di $BC,AC,AD,BD$ rispettivamente e sia $I$ l'incentro del tetraedro. Dimostrare che $E,F,G,H,I$ sono complanari.
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Re: Baricentriche in 3D

Messaggioda pipotoninoster » 23/02/2018, 16:34

Allora, ogni punto dello spazio è della forma [tex]P=(x,y,z,t)[/tex] con [tex]x+y+z+t=1[/tex], [tex]x=(volume di BCDP)/(volume di BCDA)[/tex] e cicliche.
Fatti:
-[tex]A=(1,0,0,0)[/tex] e cicliche.
- Ogni piano è della forma [tex]ux+vy+wz+rt=0[/tex], [tex]u,v,w,r[/tex] reali.
-[tex]E=(0,1/2,1/2,0)[/tex], [tex]F=(1/2,0,1/2,0[/tex], [tex]G=(1/2,0,0,1/2)[/tex], [tex]H=(0,1/2,0,1/2)[/tex]
-Il piano per [tex]EFGH[/tex] ha equazione [tex]x+y-z-t=0[/tex]. Tra l'altro in questo modo si dimostra che i quattro punti sono complanari (il che è facilmente dimostrabile anche in via sintetica).
- Le coordinate dell'incentro sono [tex]I=((S_a)/S,(S_b)/S,(S_c)/S,(S_d)/S)[/tex] con [tex]S_a=[BCD][/tex] e cicliche e [tex]S=S_a+S_b+S_c+S_d[/tex].
A questo punto [tex]I[/tex] sta sul piano [tex]EFGH[/tex] sse [tex][BCD]+[ACD]=[ABD]+[ABC][/tex], il che è nelle ipotesi.
QVD
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