Applicazioni

Oltre la matematica elementare: teoria, esercizi, e riflessioni sulle varie branche della matematica che si fanno all'università.

Applicazioni

Messaggioda Gizeta » 29/05/2016, 14:56

Come ben noto il prodotto cartesiano di due insieme [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] può essere definito nel seguente modo (ove [tex]P(C)[/tex], [tex]C[/tex] insieme, indica l'insieme potenza di [tex]C[/tex]):

[tex]A \times B \stackrel{def}{=}\{z: z \in P(P(A \cup B)) \land (\exists x)(\exists y)(x \in A \land y \in B \land z=\{\{x\},\{x,y\}\}) \}[/tex]

Evidentemente, in tale definizione non sono contemplati i casi con [tex]A[/tex] o (non esclusivo) [tex]B[/tex] vuoti; per convenzione si pone [tex]A \times \emptyset= \emptyset \times B = \emptyset[/tex].

Definiamo relazione su [tex]A[/tex] verso [tex]B[/tex] un qualsiasi sottoinsieme [tex]f \subset A \times B[/tex].
Ora chiamiamo funzione (o applicazione) su [tex]A[/tex] verso [tex]B[/tex] una relazione [tex]f[/tex] che goda delle due seguenti proprietà:

1) [tex](\forall x)(x \in A \Rightarrow (\exists y)(y \in B \land (x,y) \in f))[/tex];
2) [tex](\forall x )(x \in A \Rightarrow (\forall y1)(\forall y2)((y1 \in B \land y2 \in B) \Rightarrow (((x,y1) \in f \land (x,y2) \in f) \Rightarrow y1=y2)))[/tex]

Se [tex]A=\emptyset[/tex] le due implicazioni sono "vere a vuoto" [spero sia una terminologia un minimo standard], quindi esistono applicazioni definite in [tex]\emptyset \times B[/tex];
al contrario, se [tex]A \not = \emptyset[/tex] e [tex]B=\emptyset[/tex] si ha che 1) è falsa, quindi non esistono applicazioni definite in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex]).

Questo mi porta a domandarmi: quanto senso ha (alla luce di tale questione) la convenzione [tex]A \times \emptyset= \emptyset \times B = \emptyset[/tex]?
I due insiemi sono formalmente uguali (all'insieme vuoto), ma esistono funzioni (in realtà è unica, e in particolare [tex]f=\emptyset[/tex]) definite in [tex]\emptyset \times B[/tex], ma non funzioni definite in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex]) :?
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Re: Applicazioni

Messaggioda alexthirty » 29/05/2016, 16:39

Probabilmente sbaglio io siccome non me ne intendo, ma può esistere la funzione f=insieme vuoto?
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Re: Applicazioni

Messaggioda Gizeta » 30/05/2016, 7:00

Ecco, la tua domanda ha chiarito (volontariamente o meno) la questione: il problema sta nella definizione di funzione data.
Una funzione su [tex]A[/tex] verso [tex]B[/tex] non è un sottoinsieme [tex]f \subset A \times B[/tex] che gode delle proprietà 1) e 2), bensì è una terna ordinata [tex](A,B,f)[/tex] dove [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono insiemi e [tex]f[/tex] è un sottoinsieme [tex]f \subset A \times B[/tex] che gode delle proprietà 1) e 2).
Ora dire che [tex](\emptyset, B, \emptyset)[/tex] è una funzione mentre ([tex]A \not = \emptyset[/tex]) [tex](A,\emptyset,\emptyset)[/tex] non lo è non genera alcun tipo di dubbio.

Il problema con l'altra definizione, ossia vedendo la funzione solo come sottoinsieme con quelle proprietà, è che si arriva al punto di dire: ([tex]A \not = \emptyset[/tex]) [tex]A \times \emptyset[/tex], [tex]\emptyset \times B[/tex] sono uguali, dunque dovrebbe soddisfare entrambi le medesime proprietà, ma in [tex]\emptyset \times B[/tex] esiste un sottoinsieme che soddisfa le proprietà 1) e 2) ([tex]\emptyset[/tex]) [quindi una funzione, secondo la definizione errata], mentre in [tex]A \times \emptyset[/tex] non esiste, quindi non sono uguali, assurdo!

A questo punto la questione sembrerebbe risolta, se non fosse che il concetto di terna è legato a doppio filo a quello di applicazione :D

[Nel senso che una terna ordinata è un elemento di un determinato prodotto cartesiano [tex]A_1 \times A_2 \times A_3[/tex], che possiamo definire come l'insieme delle applicazioni [tex]\{1,2,3\} \rightarrow A_1 \cup A_2 \cup A_3[/tex] che godono della proprietà [tex](\forall i)(i \in \{1,2,3\} \Rightarrow f(i) \in A_i)[/tex].]

Direi che giocoforza mi trovo costretto ad accettare l'orripilante [tex]A_1 \times A_2 \times A_3 \stackrel{def}{=} A_1 \times (A_2 \times A_3)[/tex] :|
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Re: Applicazioni

Messaggioda afullo » 30/05/2016, 19:36

La funzione non è solo sottoinsieme del prodotto cartesiano: per esempio f(x) = x^2 da R+ in R+ è iniettiva, ma da R ad R non lo è.
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Re: Applicazioni

Messaggioda Gizeta » 30/05/2016, 22:11

Beh, sì, formalmente [tex]\{x \mapsto x^2:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \}[/tex] e [tex]\{x \mapsto x^2:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\}[/tex] sono funzioni differenti, proprio per dare un senso a proprietà quali l'iniettività e la suriettività.

Il problema è che la definizione del primo post è quella maggiormente diffusa.
Il punto è che, per farla semplice, due oggetti uguali devono soddisfare le medesime occorrenze della teoria degli insiemi.
Ora [tex]\emptyset \times B=A \times \emptyset[/tex], ma se [tex]A \not = \emptyset[/tex] si ha che, secondo la definizione del primo post, esiste una funzione in [tex]\emptyset \times B[/tex] (ossia un suo sottoinsieme che goda delle proprietà 1 e 2), ma non esiste una funzione in [tex]A \times \emptyset[/tex] con [tex]A[/tex] non vuoto, quindi si giunge all'assurdo [tex]A \times \emptyset \not = \emptyset \times B[/tex].

La definizione che ho dato nel secondo post dovrebbe sistemare la questione.
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Re: Applicazioni

Messaggioda fram » 03/06/2016, 14:56

Magari mi sbaglio, ma a me sembra filare tutto liscio.
Non è corretto dire: "in $A\times\emptyset$ non c'è nessuna funzione, mentre in $\emptyset\times B$ c'è".
Semmai, potresti dire che in $A\times\emptyset$ non c'è nessuna funzione da $A$ verso $\emptyset$, e che in $\emptyset\times B$ c'è una funzione da $\emptyset$ verso $B$.
Ma queste sono proprietà diverse, non puoi concludere che $A\times\emptyset \not= \emptyset\times B$.
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Re: Applicazioni

Messaggioda Gizeta » 05/06/2016, 22:34

Il predicato in una variabile (proprietà) definito su prodotti cartesiani a cui stavo pensando io è (non utilizzo i simboli logici per una maggiore leggibilità):

[tex]P(A \times B) \stackrel{def}{\iff}[/tex] "esiste un sottoinsieme [tex]f \subseteq A \times B[/tex] che soddisfi le proprietà 1) e 2)"

E quando parlo di "soddisfare le proprietà 1) e 2)" intendo dire "relativamente ai due insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] scelti" e non "relativamente a due insiemi qualunque".

A questo punto, evidentemente, [tex]P(\emptyset \times B)[/tex] è una proposizione vera qualunque sia [tex]B[/tex], mentre [tex]P(A \times \emptyset)[/tex] è una proposizione falsa per [tex]A \not = \emptyset[/tex].

Tra l'altro, in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex]) non esiste proprio una funzione secondo la definizione che io contesto, come del resto è evidente dalle proposizioni logiche scritte nel primo post, quindi dire "[tex]\emptyset \subseteq A \times \emptyset[/tex] è una funzione da [tex]\emptyset[/tex] verso [tex]B[/tex], dunque esiste una funzione in [tex]A \times \emptyset[/tex]" è formalmente scorretto, ossia, tralasciando le acrobazie: [tex]\emptyset[/tex] non è una funzione in [tex]A \times \emptyset[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex]) secondo la definizione contestata, infatti la proposizione

[tex](\forall x)(x \in A \Rightarrow (\exists y)(y \in \emptyset \land (x,y) \in f))[/tex] (3) risulta falsa, perché se [tex]x \not \in A[/tex] risulta "vera a vuoto", altrimenti [tex]x \in A[/tex] è vera, mentre (fissato [tex]x[/tex]) [tex][(\exists y)(y \in \emptyset \land (x,y) \in f)] \Rightarrow [(\exists y)(y \in \emptyset) \land (\exists y)((x,y) \in f)][/tex] (4) è una proposizione vera, ed essendo [tex](\exists y)(y \in \emptyset) \land (\exists y)((x,y) \in f)[/tex] falsa [poiché [tex](\exists y)(y \in \emptyset)[/tex] è falsa] deve essere falsa anche [tex](\exists y)(y \in \emptyset \land (x,y) \in f)[/tex], altrimenti l'implicazione (4) risulterebbe falsa, e in definitiva l'implicazione (3) è falsa.

Tutto questo discorso porta alla fine al fatto che in qualche modo vedere una funzione solo come "definizione contestata" porta ad un certo "annullamento dell'ordine" quando vi è di mezzo l'insieme vuoto (discorso che, probabilmente, è figlio del fatto che in generale il prodotto cartesiano tra insiemi differenti non è commutativo, mentre [tex]A \times \emptyset=\emptyset \times A[/tex]), problema che molti autori risolvono chiedendo che i due insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] siano non vuoti (o magari non si sono nemmeno posti il problema e tale artificio serve proprio per non porselo :D ).

Insomma, alla fin fine la "definizione operativa" (una funzione sono tre "cose" bla bla bla) mi pare anche la più formalmente corretta (l'altra, se la mia argomentazione è valida, porta ad una contraddizione o quantomeno a dei dubbi legittimi sulla sensatezza di porre la convenzione [tex]A \times \emptyset=\emptyset \times A= \emptyset[/tex]) se espressa nella forma: "Una funzione [tex]A\stackrel{f}{\rightarrow}B[/tex] è una terna ordinata [tex](A,B,f)[/tex], dove [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono insiemi e [tex]f[/tex] è un sottoinsieme del prodotto cartesiano [tex]A \times B[/tex] che gode delle proprietà 1) e 2)" (qui ci sarebbe un discorso da fare sull'uso della terna ordinata, ma magari tralascio per evitare di appesantire troppo il post).
Ora alcuna persona [cioè io ahah] si scandalizza nel dire [tex](\emptyset,B,\emptyset)[/tex] è una funzione, [tex](A,\emptyset, \emptyset)[/tex] non è una funzione ([tex]A \not = \emptyset[/tex]), e le due terne ordinate sono distinte.

p.s. Scusa se non ho risposto prima, ma pensavo che questo topic fosse stato abbandonato :mrgreen:
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Re: Applicazioni

Messaggioda fram » 06/06/2016, 15:39

Sei sicuro di poter dire che $P$ sia un predicato in una variabile?
Per decidere se quella proprietà è vera hai bisogno di due insiemi $A$ e $B$, non puoi veramente partire solo da $A\times B$, che è semplicemente un insieme e non ti consente in tutti i casi di capire chi sono $A$ e $B$ (questo problema si ha esattamente quando $A\times B$ è vuoto).
Provo a spiegarmi meglio con un esempio di ragionamento chiaramente sbagliato che però mi sembra ricalcare la stessa linea di ragionamento esposta all'inizio del tuo ultimo post.

Consideriamo il predicato in una variabile definito su somme di numeri naturali:
$P(A + B) \stackrel{def}{\iff}$ esiste un naturale $C$ tale che $A < C$ e $C < B$.

Quindi ad esempio si ha che $P(3+7)$, ma non $P(5+5)$.
Ma d'altra parte noi sappiamo che $3+7=5+5$, assurdo!
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Re: Applicazioni

Messaggioda Gizeta » 06/06/2016, 18:18

Sei sicuro di poter dire che [tex]P[/tex] sia un predicato in una variabile?
Per decidere se quella proprietà è vera hai bisogno di due insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], non puoi veramente partire solo da [tex]A \times B[/tex], che è semplicemente un insieme e non ti consente in tutti i casi di capire chi sono [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] (questo problema si ha esattamente quando [tex]A \times B[/tex] è vuoto).


Beh, ma ho fatto esattamente ciò che fa la "definizione contestata": prendo un sottoinsieme [tex]f \subseteq A \times B[/tex] e scrivo enunciazioni riguardanti [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] ed [tex]f[/tex], come se potessi avere "informazioni" sui due insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] presi singolarmente ;)

Il punto: se quella definizione può essere considerata "matematicamente valida", allora è altrettanto "matematicamente valido" il mio dire che quello è un predicato in una variabile e dunque l'argomentazione seguente, che porta alla contraddizione [tex]A \times \emptyset \not = \emptyset \times B[/tex] ([tex]A \not = \emptyset[/tex]).

Forse ci sarebbero da spendere due parole sul "matematicamente valido": la matematica formale è piuttosto "meccanica" e non può dipendere in alcun modo dal "fattore umano" [qui siamo più ad un livello post-teoria, ossia "formalizzazione della teoria costruitta in maniera intuitiva"], scrivere [tex]A \times B[/tex] ed essere convinti di poter lavorare con tre oggetti ([tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]A \times B[/tex]) mette in gioco un fattore umano elevatissimo e ha ben poco di formale (o anche solo corretto, alla luce di quanto detto).
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