Applicazione 1-Lipschitziana (SNS 2007-2008 IV anno)

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Applicazione 1-Lipschitziana (SNS 2007-2008 IV anno)

Messaggioda Gizeta » 24/10/2015, 15:29

Si consideri la funzione [tex]\phi:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}^n[/tex]\begin{equation}



\phi(x)=\begin{cases}
x \space \space \space \space se \space \space ||x|| \le 1 \\ \displaystyle \frac{x}{||x||} \space \space \space \space se \space \space ||x|| > 1
\end{cases}
\end{equation}

Si mostri che [tex]||\phi(x)-\phi(y)|| \le ||x-y|| \space \space \space \forall \space x,y \in \mathbb{R}^n[/tex]


Qualcuno potrebbe darmi qualche suggerimento?
Ho provato molte strade ma sono risultate tutte inconcludenti :?
Una delle tante che ho tentato è la seguente (e in effetti mi piacerebbe vedere se qualcuno riesce a concluderla):

Testo nascosto:
[tex]\displaystyle ||\phi(x)-\phi(y)|| \le ||x-y|| \rightarrow || \frac{\phi(x)-\phi(y)}{||x-y||} || \le 1[/tex]

Dunque [tex]\phi[/tex], se la tesi fosse vera, dovrebbe essere l'identità su [tex]\displaystyle \frac{\phi(x)-\phi(y)}{||x-y||}[/tex]

Esiste qualche modo per mostrare che lo sia?
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Re: Applicazione 1-Lipschitziana (SNS 2007-2008 IV anno)

Messaggioda enigma » 25/10/2015, 16:59

Potrebbe tornarti utile avere un'idea chiara di cosa dice il testo (e a quel punto il problema è banalizzato): $\phi$ non fa altro che retrarre $\{\| x\|\geq1\}$ sulla sfera unitaria! A questo punto è ovvio tradurlo in formule.
Testo nascosto:
Se $\|x\|,\|y\| \geq 1$, WLOG $\|x\| \leq \|y\|$, allora per Cauchy-Schwarz \[ \|x-y\|^2-\left\|\frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right\|^2 \geq \|x-y\|^2-\left\|x-\frac{\|x\|}{\|y\|}y\right\|^2 =(\|y\|^2-\|x\|^2) -2\left ( 1-\frac{\|x\|}{\|y\|}\right)\langle x, y \rangle\]\[ \geq (\|y\|^2-\|x\|^2) -2\left ( 1-\frac{\|x\|}{\|y\|}\right)\|x\|\|y\|=(\|x\|-\|y\|)^2 \geq 0 .\] Similmente se sono uno dentro e uno fuori, e se sono entrambi dentro non c'è niente da mostrare.
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Re: Applicazione 1-Lipschitziana (SNS 2007-2008 IV anno)

Messaggioda Gizeta » 25/10/2015, 18:43

Grazie mille, Enigma.
Diciamo che il passo che mi mancava era il trucco di passare ai quadrati delle espressioni, infatti anche partendo semplicemente da [tex]\displaystyle \left \| \frac{x}{\|x\|}-\frac{y}{\|y\|}\right \|^2[/tex] e svolgendo qualche conto (ricordando [tex]\displaystyle \|x\|^2=<x,x>[/tex], o semplicemente sapendo come si sviluppa) più qualche maggiorazione si riesce a dimostrare la diseguaglianza nel caso da te mostrato.

Aggiungo una curiosità che ho notato: [tex]1[/tex] è la minima costante di Lipschitz per la funzione [tex]\phi[/tex], infatti se fosse [tex]0<k<1[/tex] (se [tex]k=0[/tex], [tex]\phi[/tex] sarebbe costante, e così non è) [tex]\phi[/tex] sarebbe una contrazione da uno spazio metrico completo in se stesso e per il teorema delle contrazioni (o di Banach-Caccioppoli) avrebbe uno e un solo punto fisso, ma [tex]\phi[/tex] è l'inclusione su [tex]\overline{B_{1}(\overline{0})}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] assurdo.
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