APMO 2011 3

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

APMO 2011 3

Messaggioda Rho33 » 21/07/2016, 2:23

Questo problema è molto facile se si conoscono alcuni fatti noti e si fa bene la figura, nonostante sia un APMO 3(Asian Pacific Mathematical Olympiad), che è tipo IMO 1 credo:

Sia $\triangle ABC$ un triangolo, con $\angle CAB=30^\circ$. Le bisettrici interna ed esterna di $\angle ABC$ incontrano $AC$ in $B_1,B_2$. Analogamente le bisettrici interna ed sterna di $\angle ACB$ incontrano $AB$ in $C_1,C_2$. Costruiamo le due circonferenze di diametri $B_1B_2$ e $C_1C_2$ e sia $P$ il loro punto di intersezione all'interno del triangolo. Dimostrare che $\angle BPC=90^\circ$
Rho33
 
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Re: APMO 2011 3

Messaggioda pipotoninoster » 23/03/2018, 20:42

Testo nascosto:
Osservo che la circonferenza di diametro [tex]B_1B_2[/tex] è circonferenza di Apollonio del segmento [tex]AC[/tex] e che la circonferenza di diametro [tex]C_1C_2[/tex] è circonferenza di Apollonio del segmento [tex]AB[/tex]. Allora [tex]\frac{AP}{PC}=\frac{AB}{BC}[/tex] e [tex]\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BC}[/tex], cioè [tex]AP \cdot a=PC \cdot c[/tex], cioè [tex]AP \sin \alpha=PC \sin \gamma[/tex], analogamente [tex]AP \sin \alpha=PB \sin \beta[/tex]. Ne segue [tex]AP \sin \alpha=PB \sin \beta =PC \sin \gamma[/tex]. Allora il triangolo pedale [tex]DEF[/tex] di [tex]P[/tex] rispetto a [tex]ABC[/tex] è equilatero. Ora con semplice angle chasing, sfruttando [tex]\alpha=30°[/tex] si ha la tesi.
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