[L03] Ancora questi primi...

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

[L03] Ancora questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 20/09/2015, 21:15

Lo scrivo in un nuovo post nella speranza che qualcuno lo risolva.
Determinare il minimo intero positivo $n$ tale che, comunque si scelgano $n$ interi positivi, tutti aventi solo divisori primi presi da un insieme fissato di $m$ primi distinti, esistono $k$ interi tra quelli scelti il cui prodotto è una potenza $k$-esima, per ogni possibili $m$ e $k$.
Hint 1:
Testo nascosto:
pigeonhole. Come hint non è stato molto d'aiuto, vero?

Hint 2 (scusate il ritardo):
Testo nascosto:
è la versione generale del pigeonhole

Hint 3:
Testo nascosto:
i piccioni sono, ovviamente, i nostri $n$ numeri, e i cassetti sono tutte le possibili congruenze modulo $k$ degli esponenti dei primi che compaiono nella fattorizzazione dei nostri $n$ numeri (capito perché proprio questi cassetti?)

Hint 4:
Testo nascosto:
cosa succederebbe se (per una magia chiamata pigeonhole) avessi $k$ numeri nello stesso cassetto e li moltiplicassi tra di loro? In particolare fate attenzione a cosa succede agli esponenti

Hint 5:
Testo nascosto:
i cassetti sono $k^m$; i piccioni sono $n$; io voglio almeno $k$ piccioni nello stesso cassetto; si usa la versione generale del pigeonhole; quant'è $n$ in funzione di $m$ e $k$?

Hint 6 (scusate per il ritardo):
Testo nascosto:
$n=k^{m+1}-k^m+1$. Riuscite ora a dimostrarlo?
Ultima modifica di Gerald Lambeau il 04/10/2015, 12:03, modificato 7 volte in totale.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Ancora questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 22/09/2015, 15:36

Nessuno? Dai, non è così difficile come sembra.
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Re: Ancora questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 23/09/2015, 21:01

UP! Dato che è un esercizio molto utile che generalizza una cosa che potrebbe servire in diversi casi, ho deciso che:
- non toccherò il post fino a Lunedì;
- da Lunedì a Sabato aggiungerò un hint al giorno (nel messaggio d'apertura del topic) per rendere più abbordabile il problema anche ai meno esperti;
- Domenica, se ancora nessuno (di livello medio o PIÙ BASSO) lo avrà risolto, posterò la soluzione.
Ci tengo che venga risolto perché come già detto può tornare utile saper fare una cosa del genere, e sapere come trovare una soluzione a un problema di questo tipo è utile soprattutto per chi è alle prime armi.
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Re: [L03] Ancora questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 30/09/2015, 17:52

UP (di nuovo)! Ricordo a tutti che è un peccato lasciare in sospeso un problema così interessante, specialmente ora che ci sono gli hint (di cui uno abbastanza corposo) e che ho modificato il titolo per inserire l'indicatore di difficoltà.
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Re: [L03] Ancora questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 04/10/2015, 12:04

Eee niente, ieri mi sono scordato di mettere l'hint! :oops:
Domani, se ancora nessuno lo ha risolto, posto la soluzione.
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