$\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

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$\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda xXStephXx » 28/10/2014, 1:08

Dimostrare che l'immagine della successione $a_n = \{\alpha n\}$ è densa in $[0,1]$ (dove con $\{x\}$ indico la parte frazionaria di $x$) se e solo se $\alpha$ è irrazionale.

A patto di riscriverlo in modo più semplice, può essere risolto senza nessuna conoscenza di analisi (quindi olimpico al 100%). Trall'altro non saprei come risolverlo per via puramente analitica xDD
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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda afullo » 28/10/2014, 16:42

Una specificazione: "densa" significa che la sua chiusura topologica è l'intervallo intero, ovvero che preso l'intorno di un qualsiasi punto è sempre presente un punto appartenente all'immagine (quindi ogni punto dell'intervallo è o punto interno all'immagine, o è punto di frontiera).
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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda enigma » 28/10/2014, 21:45

La via analitica è questa, che tra l'altro è talmente overkill da permetterti di mostrare molto di più-non solo la successione è densa ma anche equidistribuita.
Se è olimpionico al 100% perché l'hai messo in MNE-perché vuoi una soluzione non elementare?
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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda xXStephXx » 28/10/2014, 23:20

Woow che potenza :D Si, ero curioso di vedere una puramente analitica. Però magari si può ripostare in Algebra semplificando il testo volendo xD
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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda Caenorhabditis » 14/05/2015, 13:18

Approfitto di questo thread per chiedere se qualcuno sappia qualcosa della "discrepanza" e della "discrepanza-*" dei numeri irrazionali. Tali termini sono usati da Benoît Rittaud (La favolosa storia della radice quadrata di due), o meglio dal suo traduttore in italiano, per indicare la distanza media che tendono ad assumere i multipli di $\alpha$ modulo 1 (in particolare, il rapporto aureo è il numero irrazionale con una discrepanza maggiore, e questo ha a che fare col fatto che il suo sviluppo in frazione continua contenga tutti 1). Mi piacerebbe saperne qualcosa in più, ma non trovo questi esposti concetti da nessuna altra parte.
-Primo: 0,208 glicerina+0, 558 acqua+1,010 acido carbonico essiccato a 110° = azzurro.
-Secondo: 0,035 carbonato di soda+0,312 acido cloridrico+0,695 glicerina essiccata a 108° = azzurro con tendenza a scurirsi.
Capito?

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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda enigma » 14/05/2015, 15:17

La discrepanza di una sequenza è una nozione abbastanza standard (cerca discrepancy of a sequence), anche se non so se l'uso che ne fa il tizio del libro sia quello comune. La sezione aurea è particolare nel senso che lei (e tutti i numeri a lei equivalenti tramite $SL_2(\mathbb Z)$) è mal approssimabile in termini di frazione continua e mostra che certi noti risultati sullo spettro di Lagrange sono ottimali.
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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda enigma » 14/05/2015, 15:24

Un accenno lo trovi qui.
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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda xXStephXx » 14/05/2015, 19:16

Alla fine nel problema originale mi ero reso conto che bastava prendere un'estratta con Bolzano-Weierstrass anzichè usare Pigeonhole, ma avevo dimenticato di scriverlo :mrgreen:
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Re: $\{\alpha n\}$ denso in [0,1]

Messaggioda Caenorhabditis » 16/05/2015, 17:34

enigma ha scritto:La discrepanza di una sequenza è una nozione abbastanza standard (cerca discrepancy of a sequence), anche se non so se l'uso che ne fa il tizio del libro sia quello comune. La sezione aurea è particolare nel senso che lei (e tutti i numeri a lei equivalenti tramite $SL_2(\mathbb Z)$) è mal approssimabile in termini di frazione continua e mostra che certi noti risultati sullo spettro di Lagrange sono ottimali.

Grazie, ci ho capito qualcosina.
-Primo: 0,208 glicerina+0, 558 acqua+1,010 acido carbonico essiccato a 110° = azzurro.
-Secondo: 0,035 carbonato di soda+0,312 acido cloridrico+0,695 glicerina essiccata a 108° = azzurro con tendenza a scurirsi.
Capito?

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