Allenamento Semifinale Bocconi 2020: esercizio 16

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Allenamento Semifinale Bocconi 2020: esercizio 16

Messaggioda ronny » 22/03/2020, 14:41

16. Vacanze a Mathland
In questa repubblica, governata dai matematici, esistono
solo quattro tipi di banconote che valgono rispettivamente
63, 77, 99 e 239 Corone. Anna fa a sua sorella Chiara un
regalo che costa 2.020 Corone e, per pagarlo, utilizza un
numero dispari di ciascuno dei quattro tipi di banconote in
corso.
Quanti biglietti da 77 Corone, in particolare, ha
utilizzato?

Possibili ragionamenti:
Testo nascosto:
Almeno una banconota di ogni taglio quindi avrò: [tex]63+77+99+239 = 478 (notare che 63+77+99=239)[/tex]
Rimangono [tex]2020 - 478 = 1542[/tex]

Ignoro le banconote da 239 tanto corrispondono alla somma delle altre 3 banconote.
[tex]99 = 9*11[/tex]

[tex]77=7*11[/tex]

[tex]63=7*9[/tex]

[tex]1542 = a*99+b*77+c*63 = a*11*9 + b*11*7 + c*9*7[/tex]
[tex]1542 = 9*(a*11) + 7* (b*11) + 7*9*c[/tex]

[tex]1542 \equiv 2 (mod 7)[/tex]

Quindi con la parte multipla di 9 di deve ottenere resto di 2 modulo 7 per avere somma 1542

[tex]9*(a*11) + 7* (b*11) + 7*9*c \equiv 2 (mod 7)[/tex]
[tex]9*(a*11) \equiv 2 (mod 7)[/tex]
[tex]2*a*4 \equiv 2 (mod 7)[/tex]
[tex]a \equiv 2 (mod 7)[/tex]
[tex]a = 2+7k[/tex]

stesso ragionamento in modulo 9

[tex]1542 \equiv 3 (mod 9)[/tex]
[tex]9*(a*11) + 7* (b*11) + 7*9*c \equiv 3 (mod 9)[/tex]
[tex]7* (b*11) \equiv 3 (mod 9)[/tex]
[tex]7*b*2 \equiv 3 (mod 9)[/tex]
[tex]5*b \equiv 3 (mod 9)[/tex]
[tex]2*5*b \equiv 2*3 (mod 9)[/tex]
[tex]b \equiv 6 (mod 9)[/tex]
[tex]b = 6+9h[/tex]

[tex]1542 = 9*(11*7*k + 22) + 7*(66+9*11*h) +c*7*9[/tex]

Provando con k=0 e h=0 ottengo:
[tex]a = 2, b = 6, c = 14[/tex]

Quindi 6 banconote da 77 + quello iniziale = 7 che è una soluzione.

Provando k=1, h=0 si ottiene:
[tex]a = 9, b = 6, c = 3[/tex]
che non va bene in quanto a e c sono dispari e quindi poi diventano pari con l'aggiunta della banconota considerata all'inizio per ogni tipo.

Idem con k=0, h=1

Con k superiori viene c negativo

Quindi trovo una sola soluzione mentre dovrebbero essere 2. Anche le soluzioni Bocconi danno una sola soluzione però :(
ronny
 
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Re: Allenamento Semifinale Bocconi 2020: esercizio 16

Messaggioda afullo » 22/03/2020, 21:56

Testo nascosto:
Modulo 9: 77 e 239 sono congrui a 5, 63 e 99 sono congrui a 0, 2020 è congruo a 4. Quindi complessivamente di 77 e 239 ce ne possono essere 8, 26, 44... ma già con 26 si fa almeno 77*25 + 239 > 2020, quindi ce ne sono per forza 8.

Con sette 239 e un 77 si arriva a 1750, ma combinando 63 e 99 non si riesce a fare 270.
Con cinque 239 e tre 77 si arriva a 1426; si riesce a fare 594 con sei volte 99, ma viene meno il criterio della disparità.
Con tre 239 e cinque 77 si arriva a 1102; si riesce a fare 918 con due volte 63 e otto volte 99, ma viene meno il criterio della disparità, oppure con tredici volte 63 e una volta 99, e questa soluzione è accettabile.
Con un 239 e sette 77 si arriva a 778; si riesce a fare 1242 con quattro volte 63 e dieci volte 99, ma viene meno il criterio della disparità, oppure con quindici volte 63 e tre volte 99, e questa soluzione è accettabile.

Quindi può averne utilizzati 5, oppure 7.
afullo
 
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Re: Allenamento Semifinale Bocconi 2020: esercizio 16

Messaggioda ronny » 27/03/2020, 17:57

Testo nascosto:
Ho capito il mio errore.
La mia soluzione è la combinazione:

1 * 239 + 15 * 63 + 3 * 99 + 7 * 77

davo per scontato di usare solo una volta 239 in quanto è sostituibile dalla somma degli altri 3.
Ma proprio da questo si ottiene la seconda soluzione: sommo altri 2 * 239 e tolgo e volte tutti gli altri.
Si ottiene quindi:

3 * 239 + 13 * 63 + 1 * 99 + 5 * 77

Non si può ripetete ancora il procedimento in quanto il 99 è al minimo di 1 solo banconota.
ronny
 
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