Aiuto su un esercizio

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Aiuto su un esercizio

Messaggioda nico lol » 27/10/2017, 15:49

Ciao a tutti ragazzi, durante la preparazione per le olimpiadi mi ritrovo ad affrontare un esercizio della bocconi della finale del 2009 che non riesco davvero a risolvere, spero che qualcuno mi aiuti, il testo è il seguente:

Da un punto interno ad un triangolo ABC vengono tracciate le tre
parallele ai lati del triangolo. In questo modo, il triangolo è diviso
in tre parallelogrammi e tre triangoli più piccoli di area
(rispettivamente) 9 cm2 , 16 cm2 e 25 cm2
.
Quale è l'area del triangolo ABC?
Grazie in anticipo!
nico lol
 
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Re: Aiuto su un esercizio

Messaggioda Dudin » 27/10/2017, 17:04

Devi sfruttare il fatto che i tre triangoli formati sono simili
Dudin
 
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Re: Aiuto su un esercizio

Messaggioda Dudin » 27/10/2017, 17:20

Soluzione:
Testo nascosto:
1) I tre triangoli formati sono simili
2) La somma delle basi dei tre triangoli = alla base del triangolo di partenza
3) La somma delle altezze dei tre triangoli = all'altezza del triangolo di partenza
4) se I triangoli T1 e T2 sono simili allora: B1^2 : B2^2 = S1:S2 (Il rapporto tra i quadrati delle basi è uguale al rapporto delle aree) (idem per le altezze)

Ok detti T1 (area di 9) T2(area di 16) e T3(area di 25) i triangoli formati e T il triangolo di partenza
noi vogliamo trovare B*H/2 = (B1+B2+B3)(H1+H2+H3)/2
Ci sono troppe incognite quindi scriviamo tutto in funzione di T3 (sfruttando il punto 4)
quindi B1^2 :B3^2 = 9 : 25 => B1 = B3*3/5 (idem per le altezze)
Per la seconda base otteniamo: B2 = B3* 4/5
Non ci resta che sommare:
B = (B1+B2+B3) = (3/5 +4/5 +1)B3 = B3*12/5 (in modo analogo per le altezze H = H3*12/5

Quindi l'area del triangolo BH/2 = (B3*H3*144/25)/2
Ricordiamo che B3*H3/2 è l'area del triangolo T3 cioè 25... Quindi sostituendo otteniamo 25*144/25 = 144
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Re: Aiuto su un esercizio

Messaggioda nico lol » 28/10/2017, 18:30

Grazie davvero per le risposte, siete davvero molto gentili :D
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Re: Aiuto su un esercizio

Messaggioda nico lol » 28/10/2017, 18:38

ah, dimenticavo dudin, ma come mai se due triangoli sono simili allora il rapporto tra il quadrato delle basi è uguale al rapporto delle aree?scusa la mia ignoranza...
nico lol
 
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Re: Aiuto su un esercizio

Messaggioda Dudin » 28/10/2017, 20:52

Consideriamo due triangoli T1,T2 simili con rapporto di proporzionalità k.
Quindi B1= kB2
E H1 = kH2
Quindi S1 = B1*H1/2 = k^2* B2*H2/2 = k^2 S2
Ecco dimostrato che se il rapporto è k il rapporto tra le aree diventa k^2
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