Aiuto Problemi Disfida Matematica 2011

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Aiuto Problemi Disfida Matematica 2011

Messaggioda Fastalla » 27/04/2017, 1:21

Ciao, oggi (cioè ieri dato che scrivo alle 2 di notte perchè oggi non riesco a dormire) ho avuto la malsana idea di iniziare una prova delle Disfide Matematiche che sfortunatamente non ha un pdf o un blog dove sono presenti soluzioni (dimostrazioni) ad alcuni problemi su cui mi sono bloccato...

Se qualcuno potesse darmi una mano anche solo su alcuni gliene sarei grato [Premetto che non ho provato tutti gli esercizi in un giorno ma solo dal numero 1 al 10 + il 15].
Intanto allego il link: http://www.problemisvolti.it/Docu/GaSqu ... aTVG11.pdf

Ho avuto problemi con i numeri: 2 (non riesco a capire in che modo 'corretto' andrebbe fatto senza ricorrere a infiniti calcoli), il numero 6, il numero 8 (mi riporta 71 mentre sulle soluzioni numeriche segnano 72 e non capisco perchè), il numero 15 (su cui ho perso un ora rimanendo tristemente ancorato!) e il numero 19 (di cui ho visto alcune soluzioni su internet ma mi sembrano fatte con procedimenti troppi avanzati per le Olimpiadi).

Detto questo, grazie infinite a chiunque provi a darmi una mano.
Fastalla
 
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Re: Aiuto Problemi Disfida Matematica 2011

Messaggioda ElPaso98 » 27/04/2017, 14:52

Allora,
2) Per semplificare i conti basta notare che un numero della forma [tex]abcabc[/tex] è divisibile per [tex]1001=7\cdot 11 \cdot 13[/tex] che puoi raccogliere e poi si tratta di fattorizzare somma e differenze di cubi o quadrati sfruttando il fatto che [tex]999=856+143[/tex], alla fine dovrebbe venirti [tex]n=2^3\cdot3^4\cdot7^3\cdot11^4\cdot13^4\cdot19\cdot37[/tex].
6) Sia [tex]k=a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex].Si ha che [tex]a+b[/tex] e [tex]a-b[/tex] hanno la stessa parità, allora [tex]k[/tex] può essere un numero dispari o un multiplo di [tex]4[/tex] (è facile dimostrare che [tex]k[/tex] può essere un qualunque numero dispari o un qualunque multiplo di [tex]4[/tex], si tratterebbe di risolvere un sistema lineare in due incognite). Quindi solo i numeri [tex]j[/tex] tali che [tex]2\parallel j[/tex] non vanno bene. Quanti sono? [tex]\lfloor2011/2\rfloor-\lfloor2011/4\rfloor=503[/tex].
8) Mi interessa usare il vincolo [tex]x+y+z=87[/tex], considero dunque [tex](x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=2xy+2xz+2yz=n^2[/tex], allora [tex]n^2=87^2-(x^2+y^2+z^2)[/tex] ma per [tex]QM-AM[/tex] ho che [tex]x^2+y^2+z^2 \ge 87\cdot29[/tex] quindi [tex]n^2[/tex] può variare tra [tex]0[/tex] e [tex]87(87-29)[/tex] (non so dimostrare che assume tutti i valori interi in quell'intervallo, almeno penso, però mi fido), quindi [tex]0\le n\le71[/tex], [tex]n[/tex] assume [tex]72[/tex] valori.
Il 15 non l'ho ancora provato sul serio, del 19 c'è una dimostrazione nella categoria TdN ma devo capirla meglio, se ho novità aggiorno.
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Re: Aiuto Problemi Disfida Matematica 2011

Messaggioda Luke99 » 27/04/2017, 19:04

Per il 15 trasforma il triangolo in uno equilatero, cerca di esprimere l'area di quello che vuoi in funzione degli altri triangoli e poi cerca similitudini tra gli altri triangoli, se poi non ti viene lo posto ma prova con questi aiuti
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Re: Aiuto Problemi Disfida Matematica 2011

Messaggioda Fastalla » 28/04/2017, 10:33

Vi ringrazio entrambi tantissimo, non immaginate che fastidio non sapere fare problemi e non avere una soluzione dimostrativa a portata di mano.

Il numero 15 lo ho risolto usando il triangolo generico (con l'equilatero credevo non andasse 'bene');
Sono riuscito a risolverlo tracciando la parallela a AB passante per R che interseca BC in D:
Avevo quindi ABC simile a RDC (scala 8:1), inoltre posto E l'intersezione tra CP e RD, e posto O come l' intersezione tra RB e CP, ho che ROE e BOP sono simili.
Ho quindi che PB è 7/8 di AB e che RE è 1/8 di RD che a sua volta è 1/8 di AB.
Ho quindi il rapporto tra i 2 triangoli e così anche quello di BO con RO.
In questo modo avendo che BCR è un ottavo dell'area totale riesco a trovare quanto vale ROC in sua funzione.
Lo stesso procedimento simmetrico per i vertici A e B.
In questo modo ho tutti i dati per un equazione finale che porta al risultato.
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