Aiuto esercizio

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Aiuto esercizio

Messaggioda Davide12345 » 30/10/2017, 18:18

Sia m/n
la frazione, ridotta ai minimi termini, che si ottiene calcolando la somma:
(1/1 · 2 · 3 · 4)
+
(1/2 · 3 · 4 · 5)
+
(1/3 · 4 · 5 · 6)
+ . . . +
(1/97 · 98 · 99 · 100)

Che resto si ottiene dalla divisione n : m?
Problema n 9
http://www.problemisvolti.it/Docu/GaSqu ... aTVG13.pdf
Davide12345
 
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Re: Aiuto esercizio

Messaggioda Gizeta » 31/10/2017, 9:00

In questo genere di problemi si può utilizzare un trucco standard.


Consideriamo l'espressione [tex]\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}[/tex] e diciamo che vogliamo determinare costanti reali [tex]A,B,C,D[/tex] tali che


[tex]\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}+\frac{D}{n+3}[/tex]



Come si fa?
Facciamo i conti al membro di destra e poi applichiamo il principio di identità dei polinomi, quindi

[tex]\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(A+B+C+D)n^3+(6A+5B+4C+3D)n^2+(11A+6B+3C+2D)n+6A}{n(n+1)(n+2)(n+3)}[/tex]

Ossia giungiamo al sistema

[tex]\begin{equation}
\begin{cases}
6A=1\\11A+6B+3C+2D=0\\6A+5B+4C+3D=0\\A+B+C+D=0
\end{cases}
\end{equation}[/tex]

avente per soluzione

[tex]\displaystyle (A,B,C,D)=\left (\frac{1}{6},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{6} \right)[/tex]

Bene, allora dopo questo lavoro siamo giunti a scrivere l'espressione che ci permetterà di calcolare la quantità richiesta dal problema

[tex]\displaystyle \boxed{\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{6n}-\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}-\frac{1}{6(n+3)}}[/tex]

infatti

[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{97}{\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}=\frac{1}{6}\sum_{n=1}^{97}{\frac{1}{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{97}{\frac{1}{n+1}}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{97}{\frac{1}{n+2}}-\frac{1}{6}\sum_{n=1}^{97}{\frac{1}{n+3}}[/tex]

Ora, facendo un po' di attenzione, si può notare che parecchi addendi della prima sommatoria si semplificano con parecchi addendi della quarta e che un discorso simile si può fare per la seconda e la terza, di modo che in definitiva ci rimane solo

[tex]\displaystyle \boxed{\sum_{n=1}^{97}{\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}=}\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{99}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{98}+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)\boxed{=\frac{161699}{2910600}}[/tex]

Il resto richiesto è quindi [tex]\boxed{18}[/tex].



Commento: La tecnica è nota come decomposizione in fratti semplici; in questo stesso forum puoi trovare altri problemi simili con cui sperimentarla.
Gizeta
 
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Re: Aiuto esercizio

Messaggioda Davide12345 » 01/11/2017, 11:43

GraIe mille :D
Davide12345
 
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