Aiutino?

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Aiutino?

Messaggioda Benny140 » 14/04/2017, 17:02

Determinare il più piccolo intero [tex]n[/tex] tale che [tex]abc\mid(a+b+c)^{n}[/tex] per ogni scelta di tre interi positivi [tex]a, b, c[/tex] tali che [tex]a\mid b^{3}, b\mid c^{3}, c\mid a^{3}[/tex].

Io sono arrivato a dire che [tex](a+b+c)^{n} \equiv a^{n}+b^{n}+c^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a^{i}b^{n-i}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a^{i}c^{n-i}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}b^{i}c^{n-i} \space\space[/tex] (mod [tex]abc[/tex]).

Da qui mi fermo(spero che almeno ciò a cui sono arrivato sia giusto).
Benny140
 
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Re: Aiutino?

Messaggioda CosecantofPi » 18/04/2017, 18:42

Benny140 ha scritto:Determinare il più piccolo intero [tex]n[/tex] tale che [tex]abc\mid(a+b+c)^{n}[/tex] per ogni scelta di tre interi positivi [tex]a, b, c[/tex] tali che [tex]a\mid b^{3}, b\mid c^{3}, c\mid a^{3}[/tex].

Io sono arrivato a dire che [tex](a+b+c)^{n} \equiv a^{n}+b^{n}+c^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a^{i}b^{n-i}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a^{i}c^{n-i}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}b^{i}c^{n-i} \space\space[/tex] (mod [tex]abc[/tex]).

Da qui mi fermo(spero che almeno ciò a cui sono arrivato sia giusto).

Secondo me ti conviene osservare il trinomio alla n in questo modo:
$(a+b+c)^n=\sum\limits_{i,j,k \neq 0\\ i+j+k=n}^n \frac{n!}{i!j!k!}a^ib^jc^k$
Forse puo' esserti utile, ma non so aiutarti piu' di cosi.
CosecantofPi
 
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